1997 AMC 12 Problema 25

Question

Sea

ABCD

un paralelogramo, y sean

\overrightarrow{AA'},

\overrightarrow{BB'},

\overrightarrow{CC'}

y

\overrightarrow{DD'}

rayos paralelos en el espacio, situados en el mismo lado del plano determinado por

ABCD.

Si

AA'=10,

BB'=8,

CC'=18,

DD'=22,

y

M

y

N

son los puntos medios de

A'C'

y

B'D',

respectivamente, entonces

MN=

Let

ABCD

be a parallelogram and let

\overrightarrow{AA'},

\overrightarrow{BB'},

\overrightarrow{CC'},

and

\overrightarrow{DD'}

be parallel rays in space on the same side of the plane determined by

ABCD.

If

AA'=10,

BB'=8,

CC'=18,

DD'=22,

and

M

and

N

are the midpoints of

A'C'

and

B'D',

respectively, then

MN=

0

1

2

3

4

Respuesta: B

Conceptos:vectors three-dimensional geometry

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa vectores y la identidad del paralelogramo

A+C=B+D

Use vectors and the parallelogram identity

A+C=B+D

Pista grande:

Las componentes en el plano de los dos puntos medios coinciden; compara solo sus componentes en la dirección de los rayos

The planar components of the two midpoints coincide; compare only their ray-direction components

Solución:

Elige la dirección común de los rayos como un vector unitario

u.

Entonces

\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}

Como

A+C=B+D

en un paralelogramo,

N-M=u,

por lo que

MN=1.

La respuesta correcta es B.

Choose the common ray direction as a unit vector

u.

Then

\begin{aligned} M&=\frac{A+C}{2}+14u,\\ N&=\frac{B+D}{2}+15u. \end{aligned}

Since

A+C=B+D

for a parallelogram,

N-M=u,

so

MN=1.

The correct answer is B.