1996 AMC 12 Problema 25

Question

Dado que

x^2+y^2=14x+6y+6,

¿cuál es el mayor valor posible de

3x+4y

?

Given that

x^2+y^2=14x+6y+6,

what is the largest possible value that

3x+4y

can have?

72

73

74

75

76

Completa cuadrados para identificar el centro y el radio del círculo

Complete the square to identify the circle’s center and radius

El máximo de

3x+4y

es su valor en el centro más el radio por

\sqrt{3^2+4^2}

The maximum of

3x+4y

is its value at the center plus the radius times

\sqrt{3^2+4^2}

Al completar cuadrados se obtiene

(x-7)^2+(y-3)^2=64.

En el centro,

3x+4y=3(7)+4(3)=33.

Moverse

8

unidades en la dirección del vector

(3,4)

aumenta la expresión en

8\sqrt{3^2+4^2}=40.

El máximo es

73,

así que la respuesta correcta es B.

Completing the square gives

(x-7)^2+(y-3)^2=64.

At the center,

3x+4y=3(7)+4(3)=33.

Moving

8

units in the direction of the vector

(3,4)

increases the expression by

8\sqrt{3^2+4^2}=40.

The maximum is

73,

so the correct answer is B.

El Problema 25 en otros años