1996 AMC 12 Problema 23

Question

La suma de las longitudes de las doce aristas de una caja rectangular es

140,

y la distancia de un vértice al vértice más lejano es

21.

El área superficial total de la caja es

The sum of the lengths of the twelve edges of a rectangular box is

140,

and the distance from one corner of the box to the farthest corner is

21.

The total surface area of the box is

776

784

798

800

812

Si las longitudes de los lados son

a,b,c

, traduce a ecuaciones la suma de las aristas y la diagonal espacial

If the side lengths are

a,b,c

, translate the edge sum and space diagonal into equations

Expande

(a+b+c)^2

para obtener directamente

2(ab+bc+ca)

Expand

(a+b+c)^2

to obtain

2(ab+bc+ca)

directly

La suma de las aristas da

4(a+b+c)=140,

por lo que

a+b+c=35.

La diagonal espacial da

a^2+b^2+c^2=21^2=441.

Por tanto, el área superficial es

\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The edge sum gives

4(a+b+c)=140,

so

a+b+c=35.

The space diagonal gives

a^2+b^2+c^2=21^2=441.

Therefore the surface area is

\begin{gathered} 2(ab+bc+ca)\\ {}=(a+b+c)^2\\ {}-(a^2+b^2+c^2)\\ {}=35^2-441=784. \end{gathered}

Thus the correct answer is B.

El Problema 23 en otros años