1993 AMC 12 Problema 13

Question

Un cuadrado de perímetro

20

está inscrito en un cuadrado de perímetro

28.

¿Cuál es la mayor distancia entre un vértice del cuadrado interior y un vértice del cuadrado exterior?

A square of perimeter

20

is inscribed in a square of perimeter

28.

What is the greatest distance between a vertex of the inner square and a vertex of the outer square?

\sqrt{58}

\frac{7\sqrt5}{2}

8

\sqrt{65}

5\sqrt3

Respuesta: D

Conceptos:inscribed square Pythagorean theorem distance

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Un vértice del cuadrado interior divide un lado exterior en segmentos de longitudes

x

e

y

A vertex of the inner square divides an outer side into lengths

x

and

y

Pista grande:

Usa

x+y=7

y

x^2+y^2=25

Use

x+y=7

and

x^2+y^2=25

Solución:

Las longitudes de los lados exterior e interior son

7

y

5.

En cualquier vértice interior, los dos segmentos del lado exterior tienen longitudes

x

e

y

, con

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.

Por tanto,

2xy=49-25=24,

así que

\{x,y\}=\{3,4\}.

Desde un vértice interior situado en un lado, el vértice exterior opuesto más lejano está a un desplazamiento horizontal de

4

y vertical de

7.

La mayor distancia es, por lo tanto,

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.

La respuesta correcta es D.

The outer and inner side lengths are

7

and

5.

At any inner vertex, the two pieces of the outer side have lengths

x

and

y

with

x+y=7,\qquad x^2+y^2=25.

Hence

2xy=49-25=24,

so

\{x,y\}=\{3,4\}.

From an inner vertex on one side, the farther opposite outer vertex has horizontal displacement

4

and vertical displacement

7.

The greatest distance is therefore

\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}.

Thus the correct answer is D.