1987 AMC 12 Problema 23

Question

Si

p

es primo y las dos raíces de

x^2+px-444p=0

son enteras, entonces

If

p

is a prime and both roots of

x^2+px-444p=0

are integers, then

1\lt p\le11

11\lt p\le21

21\lt p\le31

31\lt p\le41

41\lt p\le51

Respuesta: D

Conceptos:integer roots prime divisibility Vieta’s formulas

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para una raíz entera

x,

reescribe la ecuación como

x^2=p(444-x)

For an integer root

x,

rewrite the equation as

x^2=p(444-x)

Pista grande:

Como

p

es primo, escribe

x=np

y factoriza

444

Since

p

is prime, write

x=np

and factor

444

Solución:

Una raíz entera satisface

x^2=p(444-x).

Por tanto,

x

es divisible por

p,

así que escribimos

x=np.

Al sustituir, se obtiene

n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.

La condición sobre el producto de enteros consecutivos solo se cumple con

p=37,

para el cual

n=3

o

-4.

Las raíces son

111

y

-148,

de modo que

31\lt p\le41.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

An integer root satisfies

x^2=p(444-x).

Thus

x

is divisible by

p,

so write

x=np.

Substitution gives

n(n+1)p=444=2^2\cdot3\cdot37.

The consecutive product condition works only with

p=37,

for which

n=3

or

-4.

The roots are

111

and

-148,

so

31\lt p\le41.

Thus the correct answer is D.