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1969 AMC 12 Problema 25

Intenta el Problema 25 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Si se sabe que log⁡2a+log⁡2b≥6,\log_2a+\log_2b\ge6, entonces el menor valor que puede tomar a+ba+b es:
If it is known that log⁡2a+log⁡2b≥6,\log_2a+\log_2b\ge6, then the least value that can be taken on by a+ba+b is:
262\sqrt6
66
828\sqrt2
1616
ninguna de las anteriores
none of these
Respuesta: D
Conceptos:logaritmoDesigualdad MA-MGoptimización
Nivel de dificultad: 1880
Pista pequeña:
Combina los logaritmos para acotar abab
Combine the logarithms to bound abab
Pista grande:
Aplica a+b≥2aba+b\ge2\sqrt{ab}
Apply a+b≥2aba+b\ge2\sqrt{ab}
Solución:
La condición logarítmica da log⁡2(ab)≥6,\log_2(ab)\ge6, así que ab≥64.ab\ge64. Por la desigualdad AM-GM, a+b≥2ab≥264=16. a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16. La igualdad se alcanza cuando a=b=8.a=b=8.
Por lo tanto, la respuesta correcta es D.
The logarithm condition gives log⁡2(ab)≥6,\log_2(ab)\ge6, so ab≥64.ab\ge64. By AM-GM, a+b≥2ab≥264=16. a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{64}=16. Equality is attained at a=b=8.a=b=8.
Therefore, the correct answer is D.
Problema 24#24
Examen completo
Problema 26#26

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