1956 AMC 12 Problema 23

Question

De la ecuación

ax^2-2x\sqrt2+c=0,

donde

a

y

c

son constantes reales, se nos dice que el discriminante es cero. Las raíces son necesariamente:

About the equation

ax^2-2x\sqrt2+c=0,

with

a

and

c

real constants, we are told that the discriminant is zero. The roots are necessarily:

iguales y enteras

equal and integral

iguales y racionales

equal and rational

iguales y reales

equal and real

iguales e irracionales

equal and irrational

iguales e imaginarias

equal and imaginary

Un discriminante cero hace coincidir los dos valores de la fórmula cuadrática

A zero discriminant makes the two quadratic-formula values coincide

La raíz doble es

-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}

The repeated root is

-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}

Una cuadrática con coeficientes reales y discriminante cero tiene la raíz doble

x=\frac{-(-2\sqrt2)}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}.

Como

a

es un número real no nulo, esta raíz es real. No tiene que ser siempre racional ni siempre irracional.

Por lo tanto, las raíces son necesariamente iguales y reales, así que la respuesta correcta es C.

A quadratic with real coefficients and discriminant zero has the repeated root

x=\frac{-(-2\sqrt2)}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}.

Since

a

is a nonzero real number, this root is real. It need not always be rational or always be irrational.

Thus, the roots are necessarily equal and real, so the correct answer is C.

El Problema 23 en otros años