1953 AMC 12 Problema 25

Question

En una progresión geométrica de términos positivos, cualquier término es igual a la suma de los dos términos que lo siguen. Entonces la razón común es:

In a geometric progression whose terms are positive, any term is equal to the sum of the next two following terms. Then the common ratio is:

1

aproximadamente

\dfrac{\sqrt5}{2}

about

\dfrac{\sqrt5}{2}

\dfrac{\sqrt5-1}{2}

\dfrac{1-\sqrt5}{2}

\dfrac2{\sqrt5}

Respuesta: C

Conceptos:geometric progression quadratic equation positive root

Nivel de dificultad: 1400

Pista pequeña:

Divide entre el primero de ellos la relación entre tres términos consecutivos

Divide the relation among three consecutive terms by the first of them

Pista grande:

La razón común satisface

1=r+r^2

; elige su raíz positiva

The common ratio satisfies

1=r+r^2

; choose its positive root

Solución:

Si un término es

t,

los dos siguientes son

tr

y

tr^2.

Así,

t=tr+tr^2

y

r^2+r-1=0.

Como los términos son positivos,

r=\frac{\sqrt5-1}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If a term is

t,

the next two are

tr

and

tr^2.

Thus

t=tr+tr^2

and

r^2+r-1=0.

Because the terms are positive,

r=\frac{\sqrt5-1}{2}.

Thus, the correct answer is C.