1953 AMC 12 Problema 23

Question

La ecuación

\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5

tiene:

The equation

\sqrt{x+10}-\dfrac6{\sqrt{x+10}}=5

has:

una raíz extraña entre

-5

y

-1

an extraneous root between

-5

and

-1

una raíz extraña entre

-10

y

-6

an extraneous root between

-10

and

-6

una raíz verdadera entre

20

y

25

a true root between

20

and

25

dos raíces verdaderas

two true roots

dos raíces extrañas

two extraneous roots

Respuesta: B

Conceptos:radical equation extraneous root domain

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Multiplica por

\sqrt{x+10}

antes de eliminar el radical

Multiply by

\sqrt{x+10}

before eliminating the radical

Pista grande:

Después de resolver la cuadrática resultante, sustituye ambos candidatos en la ecuación original

After solving the resulting quadratic, substitute both candidates into the original equation

Solución:

Al multiplicar por

\sqrt{x+10}

, se obtiene

x+4=5\sqrt{x+10}.

Al elevar al cuadrado, resulta

\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered}

El valor

x=26

satisface la ecuación original, mientras que

x=-9

hace que el lado izquierdo sea

1-6=-5,

y no

5.

Por lo tanto,

-9,

que está entre

-10

y

-6,

es una raíz extraña.

La respuesta correcta es B.

Multiplying by

\sqrt{x+10}

gives

x+4=5\sqrt{x+10}.

Squaring produces

\begin{gathered} x^2-17x-234\\ =(x-26)(x+9)\\ =0. \end{gathered}

The value

x=26

satisfies the original equation, while

x=-9

makes its left side

1-6=-5,

not

5.

Thus

-9,

which lies between

-10

and

-6,

is extraneous.

The correct answer is B.