Question

两个不全等三角形面积相同。每个三角形都有两条边长为 $8$ 和 $9$ ，并且第三边的长度是整数。求这两个第三边长度的和。

Two non-congruent triangles have the same area. Each triangle has sides of length $8$ and $9,$ and the third side of each triangle has integer length. What is the sum of the lengths of the third sides?

$20$

$22$

$24$

$26$

$28$

答案：C

知识点：余弦定理三角形面积三角不等式

难度评级：2170

解答：

夹角为 $\theta$ 时，面积为 $36\sin\theta$ ，因此两个等面积三角形的夹角为 $\theta$ 和 $180^\circ - \theta$ ，余弦分别为 $\pm\cos\theta$ 。由余弦定理，第三边满足 $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta$ ，因此 $t_1^2 + t_2^2 = 290$ 。在有效范围 $290\equiv2\pmod8$ 内，唯一可行的整数为 $1\lt t\lt17$ 和 $11^2+13^2=121+169=290$ ，因为，所以它们的和为 $24$ 。

所以正确答案是 C。

The area with included angle $\theta$ is $36\sin\theta,$ so two triangles of equal area use angles $\theta$ and $180^\circ - \theta,$ with cosines $\pm\cos\theta.$ By the law of cosines the third sides satisfy $t^2 = 145 \mp 144\cos\theta,$ hence $t_1^2 + t_2^2 = 290.$ Since $290\equiv2\pmod8,$ both integer sides must be odd. Checking the odd squares in the triangle-inequality range $1\lt t\lt17$ leaves only $11^2+13^2=121+169=290.$ Therefore the sum is $24.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 21 题

答案：C

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 21 题