2021 AMC 12B Spring 第 17 题

Question

设

ABCD

是等腰梯形，平行底边为

\overline{AB}

和

\overline{CD}

，且

AB\gt CD

。从

ABCD

内一点连到各顶点，把梯形分成四个三角形，它们的面积从以

\overline{CD}

为底的三角形开始并按顺时针方向如图所示分别为

2

，

3

，

4

，和

5

。比值

\dfrac{AB}{CD}

是多少？

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid having parallel bases

\overline{AB}

and

\overline{CD}

with

AB\gt CD.

Line segments from a point inside

ABCD

to the vertices divide the trapezoid into four triangles whose areas are

2,

3,

4,

and

5

starting with the triangle with base

\overline{CD}

and moving clockwise as shown in the diagram below. What is the ratio

\dfrac{AB}{CD}?

3

2+\sqrt2

1+\sqrt6

2\sqrt3

3\sqrt2

答案：B

知识点：梯形面积比二次方程

难度评级：2010

小提示：

以底边为底的两个三角形面积为

4

（底边

AB

）和

2

（底边

CD

）；写成

\tfrac12 a h_a

与

\tfrac12 b h_b

。

The triangles on the bases have areas

4

(base

AB

) and

2

(base

CD

); write them as

\tfrac12 a h_a

and

\tfrac12 b h_b

大提示：

已知

a h_a=8

，

b h_b=4

，且

(a+b)(h_a+h_b)=28

，交叉项

a h_b

和

b h_a

满足一个二次方程

With

a h_a=8,

b h_b=4,

and

(a+b)(h_a+h_b)=28,

the cross terms

a h_b

and

b h_a

satisfy a quadratic

解答：

令

AB=a

、

CD=b

，并设内点到

AB

和

CD

的高度分别为

h_a

与

h_b

。底边三角形给出

\tfrac12 a h_a=4

和

\tfrac12 b h_b=2

，所以

a h_a=8

，

b h_b=4

。

总面积为

2+3+4+5=14

=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b)

，所以

(a+b)(h_a+h_b)=28

。展开得

a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28

，因此

a h_b+b h_a=16

。

令

u=a h_b

，

v=b h_a

，则

u+v=16

，且

uv=(a h_a)(b h_b)=32

，所以

u,v=8\pm 4\sqrt2

。

最后

\dfrac{AB}{CD}

=\dfrac{a}{b}

=\dfrac{a h_b}{b h_b}

=\dfrac{u}{4}

=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}

=2+\sqrt2

。

所以正确答案是 B。

Let

AB=a,

CD=b,

and let the interior point be at heights

h_a

from

AB

and

h_b

from

CD.

The base triangles give

\tfrac12 a h_a=4

and

\tfrac12 b h_b=2,

so

a h_a=8

and

b h_b=4.

The total area is

2+3+4+5=14

=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),

so

(a+b)(h_a+h_b)=28.

Expanding,

a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,

giving

a h_b+b h_a=16.

Let

u=a h_b

and

v=b h_a.

Then

u+v=16

and

uv=(a h_a)(b h_b)=32,

so

u,v=8\pm 4\sqrt2.

Finally

\dfrac{AB}{CD}

=\dfrac{a}{b}

=\dfrac{a h_b}{b h_b}

=\dfrac{u}{4}

=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}

=2+\sqrt2.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring 第 17 题

答案：B

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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