Question

设 $ABCD$ 是等腰梯形，平行底边为 $\overline{AB}$ 和 $\overline{CD}$ ，且 $AB\gt CD$ 。从 $ABCD$ 内一点连到各顶点，把梯形分成四个三角形，它们的面积从以 $\overline{CD}$ 为底的三角形开始并按顺时针方向如图所示分别为 $2, 3, 4$ ，和 $5$ 。比值 $\dfrac{AB}{CD}$ 是多少？

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid having parallel bases $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ with $AB\gt CD.$ Line segments from a point inside $ABCD$ to the vertices divide the trapezoid into four triangles whose areas are $2, 3, 4,$ and $5$ starting with the triangle with base $\overline{CD}$ and moving clockwise as shown in the diagram below. What is the ratio $\dfrac{AB}{CD}?$

$3$

$2+\sqrt2$

$1+\sqrt6$

$2\sqrt3$

$3\sqrt2$

答案：B

知识点：梯形面积比二次方程

难度评级：2010

解答：

令 $AB=a$ 、 $CD=b$ ，并设内点到 $AB$ 和 $CD$ 的高度分别为 $h_a$ 与 $h_b$ 。底边三角形给出 $\tfrac12 a h_a=4$ 和 $\tfrac12 b h_b=2$ ，所以 $a h_a=8$ ， $b h_b=4$ 。

总面积为 $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b)$ ，所以 $(a+b)(h_a+h_b)=28$ 。展开得 $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28$ ，因此 $a h_b+b h_a=16$ 。

令 $u=a h_b$ ， $v=b h_a$ 则 $u+v=16$ ，且 $uv=(a h_a)(b h_b)=32$ ，所以 $u,v=8\pm 4\sqrt2$ 。

最后 $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2$ 。

所以正确答案是 B。

Let $AB=a,$ $CD=b,$ and let the interior point be at heights $h_a$ from $AB$ and $h_b$ from $CD.$ The base triangles give $\tfrac12 a h_a=4$ and $\tfrac12 b h_b=2,$ so $a h_a=8$ and $b h_b=4.$

The total area is $2+3+4+5=14$ $=\tfrac12(a+b)(h_a+h_b),$ so $(a+b)(h_a+h_b)=28.$ Expanding, $a h_a+b h_b+a h_b+b h_a=28,$ giving $a h_b+b h_a=16.$

Let $u=a h_b$ and $v=b h_a.$ Then $u+v=16$ and $uv=(a h_a)(b h_b)=32,$ so $u,v=8\pm 4\sqrt2.$

Finally $\dfrac{AB}{CD}$ $=\dfrac{a}{b}$ $=\dfrac{a h_b}{b h_b}$ $=\dfrac{u}{4}$ $=\dfrac{8+4\sqrt2}{4}$ $=2+\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring 第 17 题

答案：B

难度评级：2010

解答：

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