2020 AMC 12A 第 17 题

Question

一个四边形的顶点都在

y = \ln x

的图像上，且这些顶点的

x

坐标是连续的正整数。该四边形的面积为

\ln\dfrac{91}{90}

。最左边顶点的

x

坐标是多少？

The vertices of a quadrilateral lie on the graph of

y = \ln x,

and the

x

-coordinates of these vertices are consecutive positive integers. The area of the quadrilateral is

\ln\dfrac{91}{90}.

What is the

x

-coordinate of the leftmost vertex?

6

7

10

12

13

答案：D

知识点：鞋带公式对数二次方程

难度评级：1860

小提示：

令

x

坐标为

n, n+1, n+2, n+3

，并使用鞋带公式

Let the

x

-coordinates be

n, n+1, n+2, n+3

and apply the shoelace formula

大提示：

面积化简为

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}

；令它等于

\ln\dfrac{91}{90}

。

The area simplifies to

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)};

set it equal to

\ln\dfrac{91}{90}

解答：

设四个顶点的

x

坐标为

n, n+1, n+2, n+3

，对应的

y

坐标为对这些数取

\ln

所得的值。用鞋带公式并化简，面积为

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}

。

令

\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}

，得到

1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90}

，所以

n^2 + 3n = 180

。

因此

(n - 12)(n + 15) = 0

，所以

n = 12

。

因此，正确答案是 D。

Let the vertices have

x

-coordinates

n, n+1, n+2, n+3

with

y

-coordinates

\ln

of those values. Applying the shoelace formula and simplifying, the area is

\ln\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)}.

Setting

\dfrac{(n+1)(n+2)}{n(n+3)} = \dfrac{91}{90}

gives

1 + \dfrac{2}{n^2 + 3n} = \dfrac{91}{90},

so

n^2 + 3n = 180.

Then

(n - 12)(n + 15) = 0,

so

n = 12.

Thus, D is the correct answer.

2020 AMC 12A 第 17 题

答案：D

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

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