2019 AMC 12A 第 17 题

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17.

设

s_k

表示多项式

x^3 - 5x^2 + 8x - 13

的所有根的

k

次幂之和。特别地，

s_0 = 3

、

s_1 = 5

，且

s_2 = 9

。设

a

，

b

和

c

为实数，使得

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

对

k = 2

，

3

，

\ldots

成立。

a + b + c

是多少？

Let

s_k

denote the sum of the

k

th powers of the roots of the polynomial

x^3 - 5x^2 + 8x - 13.

In particular,

s_0 = 3,

s_1 = 5,

and

s_2 = 9.

Let

a,

b,

and

c

be real numbers such that

s_{k+1} = a\,s_k + b\,s_{k-1} + c\,s_{k-2}

for

k = 2,

3,

\ldots.

What is

a + b + c?

-6

0

6

10

26

答案：D

知识点：牛顿恒等式多项式递推

难度评级：1860

小提示：

每个根

r

都满足

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

。

Each root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

大提示：

乘以

r^{k-2}

，再对所有根求和，就能读出

a, b, c

。

Multiply by

r^{k-2}

and sum over the roots to read off

a, b, c

解答：

每个根

r

都满足

r^3 = 5r^2 - 8r + 13

，因此

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}

。

对三个根求和，得到

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2}

，所以

a = 5

，

b = -8

，

c = 13

。

因此

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10

。

所以正确答案是 D。

Every root

r

satisfies

r^3 = 5r^2 - 8r + 13,

so

r^{k+1} = 5r^k - 8r^{k-1} + 13r^{k-2}.

Summing over the three roots gives

s_{k+1} = 5s_k - 8s_{k-1} + 13s_{k-2},

so

a = 5,

b = -8,

c = 13.

Therefore

a + b + c = 5 - 8 + 13 = 10.

Thus, the correct answer is D.

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