2018 AMC 12B 第 17 题

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17.

设

p

和

q

为正整数，满足

\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}

且

q

尽可能小。求

q-p

。

Let

p

and

q

be positive integers such that

\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}

and

q

is as small as possible. What is

q-p?

7

11

13

17

19

答案：A

知识点：分数不等式极限情形界定

难度评级：2090

小提示：

由于

9p\gt5q

且

4q\gt7p

，并且两边都是整数，有

9p-5q\ge1

和

4q-7p\ge1

。

Since

9p\gt5q

and

4q\gt7p

with integer sides,

9p-5q\ge1

and

4q-7p\ge1

大提示：

写出

\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63}

，再把这些不等式相加来限制

q

。

Add these after writing

\tfrac{4}{7}-\tfrac{5}{9}=\tfrac{1}{63}

to bound

q

解答：

由

\tfrac59\lt\tfrac pq

得

9p-5q\ge1

，由

\tfrac pq\lt\tfrac47

得

4q-7p\ge1

。于是

\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q} \end{gathered}\text{。}

因此

q\ge16

。当

q=16

时，分数

\tfrac{9}{16}

严格介于

\tfrac59

和

\tfrac47

之间，所以

p=9

，且

q-p=16-9=7

。

所以正确答案是 A。

From

\tfrac59\lt\tfrac pq

we get

9p-5q\ge1,

and from

\tfrac pq\lt\tfrac47

we get

4q-7p\ge1.

Now

\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}

Hence

q\ge16.

With

q=16,

the fraction

\tfrac{9}{16}

lies strictly between

\tfrac59

and

\tfrac47,

so

p=9

and

q-p=16-9=7.

Thus, the correct answer is A.

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