Question

设 $p$ 和 $q$ 为正整数，满足且 $q$ 尽可能小。求 $q-p$ 。 $\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}$

Let $p$ and $q$ be positive integers such that $\dfrac{5}{9}\lt\dfrac{p}{q}\lt\dfrac{4}{7}$ and $q$ is as small as possible. What is $q-p?$

$7$

$11$

$13$

$17$

$19$

答案：A

知识点：分数不等式极限情形界定

难度评级：2090

解答：

由 $\tfrac59\lt\tfrac pq$ 得 $9p-5q\ge1$ ，由 $\tfrac pq\lt\tfrac47$ 得 $4q-7p\ge1$ 。 $\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}$

因此 $q\ge16$ 。当 $q=16$ 时，分数 $\tfrac{9}{16}$ 严格介于 $\tfrac59$ 和 $\tfrac47$ 之间，所以 $p=9$ ，且 $q-p=16-9=7$ 。

所以正确答案是 A。

From $\tfrac59\lt\tfrac pq$ we get $9p-5q\ge1,$ and from $\tfrac pq\lt\tfrac47$ we get $4q-7p\ge1.$ Now $\begin{gathered} \dfrac{1}{63}=\dfrac47-\dfrac59 \\ =\dfrac{4q-7p}{7q}+\dfrac{9p-5q}{9q} \\ \ge\dfrac{1}{7q}+\dfrac{1}{9q} \\ =\dfrac{16}{63q}. \end{gathered}$

Hence $q\ge16.$ With $q=16,$ the fraction $\tfrac{9}{16}$ lies strictly between $\tfrac59$ and $\tfrac47,$ so $p=9$ and $q-p=16-9=7.$

Thus, the correct answer is A.

2018 AMC 12B 第 17 题

答案：A

难度评级：2090

解答：

其他年份的第 17 题