Question

下列哪个多项式有最大的实根？

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

答案：B

知识点：多项式不等式极限情形界定

难度评级：2210

解答：

选项 A-D 中每个多项式都没有正根，且恰有一个负根，位于 $(-1, 0)$ （在 $0$ 处为正，在 $-1$ 处为负），并且在该区间递增。在区间 $(-1, 0)$ 上， $x^{19} \gt x^{17}$ 且 $x^{13} \gt x^{11}$ 。增大一项会使多项式取值更大，从而把它的根推向左边（更小）。因此最小的指数给出最大的根，在 A、C、D 之外优先选择 B（ $0$ ）。

线性选项 E 的根为 $e=-\tfrac{2018}{2019}$ ，非常接近 $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10}$ ；在这个点代入选项 B 的多项式得到负值，所以 B 的根在 E 的根右侧。因此 B 有最大的实根。 $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0$ 。 $e$ ，

所以正确答案是 B。

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}.$ Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses $0$ to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Since $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ we have $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Because B is increasing and is negative at $e,$ its root lies to the right of E's. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A 第 21 题

答案：B

难度评级：2210

解答：

其他年份的第 21 题