2014 AMC 12B 第 17 题

Question

设

P

为方程

y = x^2

的抛物线，并设

Q = (20, 14)

。存在实数

r

和

s

，使得过

Q

且斜率为

m

的直线不与

P

相交，当且仅当

r \lt m \lt s

。

r + s

是多少？

Let

P

be the parabola with equation

y = x^2

and let

Q = (20, 14).

There are real numbers

r

and

s

such that the line through

Q

with slope

m

does not intersect

P

if and only if

r \lt m \lt s.

What is

r + s?

1

26

40

52

80

答案：E

知识点：抛物线二次方程韦达定理

难度评级：2010

小提示：

直线为

y = m(x-20) + 14

；令它等于

x^2

。

The line is

y = m(x-20) + 14;

set it equal to

x^2

大提示：

无交点意味着判别式

m^2 - 80m + 56 \lt 0

；用根

r, s

的和。

No intersection means the discriminant

m^2 - 80m + 56 \lt 0;

use the sum of the roots

r, s

解答：

过

Q

的直线为

y = m(x-20) + 14

。代入

y = x^2

得

x^2 - mx + (20m - 14) = 0\text{。}

没有交点当且仅当这个方程没有实根，也就是判别式

m^2 - 4(20m-14)

= m^2 - 80m + 56

为负。这发生在

m^2 - 80m + 56 = 0

的两个根

r

与

s

之间。

由韦达定理，

r + s = 80

。

所以正确答案是 E。

The line through

Q

is

y = m(x-20) + 14.

Substituting into

y = x^2

gives

x^2 - mx + (20m - 14) = 0.

There is no intersection exactly when this has no real root, i.e. when the discriminant

m^2 - 4(20m-14)

= m^2 - 80m + 56

is negative. That happens between the two roots

r

and

s

of

m^2 - 80m + 56 = 0.

By Vieta’s formulas,

r + s = 80.

Thus, the correct answer is E.

2014 AMC 12B 第 17 题

答案：E

难度评级：2010

小提示：

大提示：

解答：

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