2011 AMC 12B 第 17 题

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17.

设

f(x)=10^{10x}

，

g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right)

，

h_1(x)=g(f(x))

；对整数

n\ge2

，令

h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))

。

h_{2011}(1)

的各位数字之和是多少？

Let

f(x)=10^{10x},

g(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{x}{10}\right),

h_1(x)=g(f(x)),

and

h_n(x)=h_1(h_{n-1}(x))

for integers

n\ge2.

What is the sum of the digits of

h_{2011}(1)?

16{,}081

16{,}089

18{,}089

18{,}098

18{,}099

答案：B

知识点：对数递推数字

难度评级：1980

小提示：

将

h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)

化简成一次函数。

Simplify

h_1(x)=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right)

to a linear function

大提示：

迭代后，

h_n(1)

是一个数字全为

8

、末位为

9

的数。

Iterating gives

h_n(1)

as a number whose digits are all

8

’s ending in a

9

解答：

首先，

\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1 \end{aligned}\text{。}

迭代可得

h_n(x)=10^n x

-(1+10+\cdots+10^{n-1})

。因此

h_n(1)

是一个

n

位整数，个位为

9

，其余各位都是

8

。

当

n=2011

时，数字和为

8\cdot2010+9=16{,}089\text{。}

所以正确答案是 B。

First,

\begin{aligned} h_1(x) &=\log_{10}\!\left(\dfrac{10^{10x}}{10}\right) \\ &=\log_{10}\!\left(10^{10x-1}\right) \\ &=10x-1. \end{aligned}

Iterating,

h_n(x)=10^n x

-(1+10+\cdots+10^{n-1}).

Therefore

h_n(1)

is an

n

-digit integer whose units digit is

9

and all of whose other digits are

8.

For

n=2011,

the digit sum is

8\cdot2010+9=16{,}089.

Thus, the correct answer is B.

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