2007 AMC 12B 第 21 题

Question

前

2007

个正整数都写成

3

进制。其中有多少个

3

进制表示是回文数？（回文数从前往后读与从后往前读相同。）

The first

2007

positive integers are each written in base

3.

How many of these base-

3

representations are palindromes? (A palindrome is a number that reads the same forward and backward.)

100

101

102

103

104

答案：A

知识点：进制回文数分类讨论

难度评级：2100

小提示：

按

3

进制位数数回文数；注意

3^6=729\lt2007\lt2187=3^7

。

Count base-

3

palindromes by their number of digits; note

3^6=729\lt2007\lt2187=3^7

大提示：

先数出最多

7

位的所有回文数，再去掉超过

2007=2202100_3

的

7

位回文数。

Total all palindromes with up to

7

digits, then remove the

7

-digit ones exceeding

2007=2202100_3

解答：

回文数由前半部分决定。按

3

进制位数计数，长度

1

或

2

的有

2

个，长度

3

或

4

的有

6

个，长度

5

或

6

的有

18

个，长度

7

的有

54

个。

最多七位的总数为

2+2+6+6+18+18

+54=106

。在

7

位数中，因为

2007=2202100_3

，超过它的

7

位回文数为

2210122

、

2211122

、

2212122

、

2220222

、

2221222

、

2222222

，共有

6

个。

因此答案为

106-6=100

。

所以正确答案是 A。

A palindrome is fixed by its first half. Counting base-

3

palindromes by length gives

2

of length

1

or

2,

6

of length

3

or

4,

18

of length

5

or

6,

and

54

of length

7.

That totals

2+2+6+6+18+18

+54=106

palindromes with at most

7

digits. Since

2007=2202100_3,

the

7

-digit palindromes larger than it are

2210122,

2211122,

2212122,

2220222,

2221222,

and

2222222,

which is

6

of them.

Therefore the count is

106-6=100.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 21 题

答案：A

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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