2007 AMC 12A 第 17 题

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17.

已知

\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}

且

\cos a+\cos b=1

。求

\cos(a-b)

？

Suppose that

\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}

and

\cos a+\cos b=1.

What is

\cos(a-b)?

\sqrt{\dfrac53}-1

\dfrac13

\dfrac12

\dfrac23

1

答案：B

知识点：三角恒等式代数变形

难度评级：1570

小提示：

把两个已知等式分别平方再相加。

Square both given equations and add them

大提示：

使用

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

来分离

\sin a\sin b+\cos a\cos b

。

Use

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

to isolate

\sin a\sin b+\cos a\cos b

解答：

将两个等式平方，得

\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53

和

\cos^2 a+2\cos a\cos b

+\cos^2 b=1

。

相加并两次使用

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

，得

\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83 \end{aligned}\text{。}

所以

\cos(a-b)=\sin a\sin b

+\cos a\cos b

=\tfrac13

。

因此，正确答案是 B。

Squaring both equations gives

\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53

and

\cos^2 a+2\cos a\cos b

+\cos^2 b=1.

Adding and using

\sin^2\theta+\cos^2\theta=1

twice,

\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}

So

\cos(a-b)=\sin a\sin b

+\cos a\cos b

=\tfrac13.

Thus, the correct answer is B.

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