Question

已知 $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ 且 $\cos a+\cos b=1$ 。求 $\cos(a-b)$ ？

Suppose that $\sin a+\sin b=\sqrt{\tfrac53}$ and $\cos a+\cos b=1.$ What is $\cos(a-b)?$

$\sqrt{\dfrac53}-1$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$\dfrac23$

$1$

将两个等式平方，得 $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ 和 $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1$ 。

相加并两次使用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ ，得 $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

所以 $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13$ 。

因此，正确答案是 B。

Squaring both equations gives $\sin^2 a+2\sin a\sin b+\sin^2 b=\tfrac53$ and $\cos^2 a+2\cos a\cos b$ $+\cos^2 b=1.$

Adding and using $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ twice, $\begin{aligned} &2+2(\sin a\sin b+\cos a\cos b) \\ &=\tfrac83. \end{aligned}$

So $\cos(a-b)=\sin a\sin b$ $+\cos a\cos b$ $=\tfrac13.$

Thus, the correct answer is B.