2004 AMC 12B 第 17 题

Question

对某些实数

a

和

b

，方程

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0

有三个不同的正根。若这些根的以

2

为底的对数之和为

5

，则

a

的值是多少？

For some real numbers

a

and

b,

the equation

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a = 0

has three distinct positive roots. If the sum of the base-

2

logarithms of the roots is

5,

what is the value of

a?

-256

-64

-8

64

256

答案：A

知识点：韦达定理对数

难度评级：1770

小提示：

根的

\log_2

之和等于根的乘积的

\log_2

。

The sum of

\log_2

of the roots equals

\log_2

of their product

大提示：

对于

8x^3 + \cdots + a

根的乘积为

-\dfrac{a}{8}

。

For

8x^3 + \cdots + a,

the product of the roots is

-\dfrac{a}{8}

解答：

以

2

为底的对数之和为

\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5

，所以

r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32

。由 Vieta 公式，方程

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a

的根的乘积为

-\dfrac{a}{8}

。因此

-\dfrac{a}{8} = 32

得到

a = -256

。

因此正确答案是 A。

The sum of the base-

2

logarithms is

\log_2(r_1 r_2 r_3) = 5,

so

r_1 r_2 r_3 = 2^5 = 32.

By Vieta’s formulas on

8x^3 + 4ax^2 + 2bx + a,

the product of the roots is

-\dfrac{a}{8}.

Thus

-\dfrac{a}{8} = 32,

giving

a = -256.

Thus, the correct answer is A.

2004 AMC 12B 第 17 题

答案：A

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题