2003 AMC 12A 第 17 题

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17.

正方形

ABCD

的边长为

4

，

M

是

\overline{CD}

的中点。以

M

为圆心、半径为

2

的圆与以

A

为圆心、半径为

4

的圆相交于点

P

和

D

。点

P

到

\overline{AD}

的距离是多少？

Square

ABCD

has sides of length

4,

and

M

is the midpoint of

\overline{CD}.

A circle with radius

2

and center

M

intersects a circle with radius

4

and center

A

at points

P

and

D.

What is the distance from

P

to

\overline{AD}?

3

\dfrac{16}{5}

\dfrac{13}{4}

2\sqrt{3}

\dfrac{7}{2}

答案：B

知识点：坐标几何圆

难度评级：1730

小提示：

把

D

放在原点，令

A

在

y

-轴上，

C

在

x

-轴上。

Put

D

at the origin with

A

on the

y

-axis and

C

on the

x

-axis

大提示：

点

P

到

\overline{AD}

的距离就是

P

的

x

-坐标。

The distance from

P

to

\overline{AD}

is the

x

-coordinate of

P

解答：

取

D=(0,0)

，

C=(4,0)

，

A=(0,4)

。以

M=(2,0)

为圆心的圆为

(x-2)^2+y^2=4

，以

A

为圆心的圆为

x^2+(y-4)^2=16

。

解这两个方程，得到交点

P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right)

。

因为

\overline{AD}

在

y

-轴上，点

P

到

\overline{AD}

的距离就是它的

x

-坐标，即

\dfrac{16}{5}

。

所以正确答案是 B。

Place

D=(0,0),

C=(4,0),

and

A=(0,4).

The circle centered at

M=(2,0)

is

(x-2)^2+y^2=4,

and the circle centered at

A

is

x^2+(y-4)^2=16.

Solving these equations gives the intersection

P=\left(\dfrac{16}{5},\dfrac85\right).

Since

\overline{AD}

lies on the

y

-axis, the distance from

P

to

\overline{AD}

is its

x

-coordinate,

\dfrac{16}{5}.

Thus, the correct answer is B.

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