1999 AMC 12 第 17 题

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17.

设

P(x)

是一个多项式，当

P(x)

除以

x - 19

时余数为

99

，当

P(x)

除以

x - 99

时余数为

19

。当

P(x)

除以

(x - 19)(x - 99)

时，余数是多少？

Let

P(x)

be a polynomial such that when

P(x)

is divided by

x - 19,

the remainder is

99,

and when

P(x)

is divided by

x - 99,

the remainder is

19.

What is the remainder when

P(x)

is divided by

(x - 19)(x - 99)?

-x + 80

x + 80

-x + 118

x + 118

0

答案：C

知识点：多项式方程组

难度评级：1680

小提示：

除以二次式后的余数形如

ax + b

。

Dividing by a quadratic leaves a remainder of the form

ax + b

大提示：

使用

P(19) = 99

和

P(99) = 19

。

Use

P(19) = 99

and

P(99) = 19

解答：

由余数定理，

P(19) = 99

，

P(99) = 19

。设

\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b\text{。} \end{aligned}

则

19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19\text{。}

相减得

80a = -80

，所以

a = -1

，进而

b = 118

。余数为

-x + 118

。

所以正确答案是 C。

By the Remainder Theorem,

P(19) = 99

and

P(99) = 19.

Write

\begin{aligned} &P(x) = (x - 19)(x - 99)Q(x) \\ &\quad {}+ ax + b. \end{aligned}

Then

19a + b = 99, \qquad 99a + b = 19.

Subtracting gives

80a = -80,

so

a = -1

and

b = 118.

The remainder is

-x + 118.

Thus, the correct answer is C.

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