1992 AMC 12 第 17 题

Question

将从

19

到

92

的两位整数依次写在一起，形成大整数

N=19202122\ldots909192\text{。}

若

3^k

是

3

的幂中能整除

N

的最高次者，则

k=

The two-digit integers from

19

to

92

are written consecutively to form the large integer

N=19202122\ldots909192.

If

3^k

is the highest power of

3

that is a factor of

N,

then

k=

0

1

2

3

大于

3

more than

3

答案：B

知识点：divisibility by 3 and 9 digit sum arithmetic series

难度评级：1830

小提示：

使用被

3

和

9

整除的数字和判别法

Use the digit-sum tests for divisibility by

3

and

9

大提示：

模

9

时，这个拼接整数的数字和等同于

19+20+\cdots+92

Modulo

9,

the digit sum of the concatenation equals

19+20+\cdots+92

解答：

模

9

时，一个数与其各位数字之和同余，所以

\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9 \end{aligned}\text{。}

因此

N

能被

3

整除但不能被

9

整除，所以整除它的最高次

3

的幂是

3^1

。

因此正确答案是 B。

Modulo

9,

a number is congruent to its digit sum, so

\begin{aligned} N&\equiv19+20+\cdots+92\\ &=\frac{74(19+92)}2\\ &=4107\equiv3\pmod9. \end{aligned}

Thus

N

is divisible by

3

but not by

9,

so the highest power of

3

dividing it is

3^1.

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 17 题

答案：B

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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