Question

已知 $i^2=-1$ ，有多少个整数 $n$ 使 $(n+i)^4$ 为整数？

Given that $i^2=-1,$ for how many integers $n$ is $(n+i)^4$ an integer?

没有

none

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：D

知识点：复数二项式定理零积性质

难度评级：1780

小提示：

展开 $(n+i)^4$ ，并分离出虚部

Expand $(n+i)^4$ and isolate its imaginary part

大提示：

整数的虚部为零，因此解所得三次因式分解方程

An integer has imaginary part zero, so solve the resulting cubic factorization

解答：

展开得 $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i \end{aligned}\text{。}$ 当且仅当 $n=0$ 、 $n=1$ 或 $n=-1$ 时，虚部为零。对这三个整数，实部都是整数，所以共有 $3$ 个取值。

因此，正确答案是 D。

Expansion gives $\begin{aligned} (n+i)^4 &=n^4-6n^2+1\\ &\quad+4n(n^2-1)i. \end{aligned}$ The imaginary part vanishes exactly when $n=0,$ $n=1,$ or $n=-1.$ For each of these three integers the real part is an integer, so there are $3$ values.

Therefore, the correct answer is D.

1980 AMC 12 第 17 题

答案：D

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 17 题