2025 AMC 12B Problema 12

Question

Abajo se muestra el limpiaparabrisas del lado del conductor de un autobús grande.

El brazo

\overline{AB}

pivota de un lado a otro alrededor del punto

A,

barriendo un arco de

60^\circ,

simétrico respecto a la recta vertical que pasa por

A.

La escobilla

\overline{CD}

está unida a

B

por su punto medio y permanece vertical mientras el brazo se mueve. El brazo mide

3

pies de largo, y la escobilla mide

3.5

pies de alto. ¿Cuál es el área del parabrisas limpiada por el limpiaparabrisas, en pies cuadrados, redondeada a la centésima más cercana? (Supón que el parabrisas es una superficie plana vertical.)

The windshield wiper on the driver’s side of a large bus is depicted below.

Arm

\overline{AB}

pivots back and forth around point

A,

sweeping out an arc of

60^\circ,

symmetric about the vertical line through

A.

The wiper blade

\overline{CD}

is attached to

B

at its midpoint and stays vertical as the arm moves. The arm is

3

feet long, and the wiper blade is

3.5

feet tall. What is the area of the windshield cleaned by the wiper, in square feet, to the nearest hundredth? (Assume that the windshield is a flat vertical surface.)

9.68

10.14

10.50

11.32

12.00

Respuesta: C

Conceptos:área arco

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Al girar el brazo,

B

traza un arco de radio

3;

la escobilla es siempre un segmento vertical de altura

3.5

centrado en

B

.

As the arm turns,

B

traces an arc of radius

3;

the blade is always a vertical segment of height

3.5

centered at

B

Pista grande:

Cada recta vertical corta la región limpiada en un segmento de altura constante

3.5,

así que el área es esa altura por el ancho horizontal barrido.

Each vertical line meets the cleaned region in a segment of constant height

3.5,

so the area is that height times the horizontal width swept

Solución:

Pon

A

en el origen. Entonces

B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)

para

\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],

así que la coordenada horizontal de

B

recorre

[-1.5, 1.5],

un ancho de

3.

En cada posición horizontal pasa exactamente una escobilla vertical de altura

3.5

así que por el principio de Cavalieri el área limpiada es

3.5 \times 3 = 10.5

pies cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Put

A

at the origin. Then

B = (3\sin\theta, 3\cos\theta)

for

\theta \in [-30^\circ, 30^\circ],

so the horizontal coordinate of

B

ranges over

[-1.5, 1.5],

a width of

3.

At each horizontal position exactly one vertical blade of height

3.5

passes through, so by Cavalieri’s principle the cleaned area is

3.5 \times 3 = 10.5

square feet.

Thus, the correct answer is C.