2025 AMC 12A Problema 4

Question

Agnes escribe las siguientes cuatro afirmaciones en una hoja de papel en blanco.

• Al menos una de estas afirmaciones es verdadera.

• Al menos dos de estas afirmaciones son verdaderas.

• Al menos dos de estas afirmaciones son falsas.

• Al menos una de estas afirmaciones es falsa.

Cada afirmación es verdadera o falsa. ¿Cuántas afirmaciones falsas escribió Agnes en el papel?

Agnes writes the following four statements on a blank piece of paper.

• At least one of these statements is true.

• At least two of these statements are true.

• At least two of these statements are false.

• At least one of these statements is false.

Each statement is either true or false. How many false statements did Agnes write on the paper?

0

1

2

3

4

Respuesta: B

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Sea

T

el número de afirmaciones verdaderas; las cuatro aseveraciones dicen

T\ge1,

T\ge2,

T\le2,

T\le3

Let

T

be the number of true statements; the four claims say

T\ge1,

T\ge2,

T\le2,

T\le3

Pista grande:

Encuentra el valor de

T

para el cual exactamente

T

de las cuatro condiciones se cumplen

Find the value of

T

for which exactly

T

of the four conditions hold

Solución:

Sea

T

el número de afirmaciones verdaderas. Las afirmaciones aseveran

T \ge 1,

T \ge 2,

T \le 2,

y

T \le 3,

respectivamente.

Al probar

T = 3

: las condiciones

T\ge1,

T\ge2,

T\le3

se cumplen (afirmaciones uno, dos y cuatro) y

T\le2

falla (afirmación tres). Exactamente

3

afirmaciones son verdaderas, coincidiendo con

T = 3.

Para

T=0,1,2,3,4,

los números respectivos de condiciones verdaderas son

2,3,4,3,2,

así que ningún otro valor es autoconsistente. Por lo tanto, exactamente una afirmación es falsa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

T

be the number of true statements. The statements assert

T \ge 1,

T \ge 2,

T \le 2,

and

T \le 3,

respectively.

Testing

T = 3

: the conditions

T\ge1,

T\ge2,

T\le3

hold (statements one, two, four) and

T\le2

fails (statement three). Exactly

3

statements are true, matching

T = 3.

For

T=0,1,2,3,4,

the respective numbers of true conditions are

2,3,4,3,2,

so no other value is self-consistent. Therefore exactly one statement is false.

Thus, the correct answer is B.