2024 AMC 12B Problema 12

Question

Supón que

z

es un número complejo con parte imaginaria positiva, con parte real mayor que

1,

y con

|z| = 2.

En el plano complejo, los cuatro puntos

0,

z,

z^2,

z^3

son los vértices de un cuadrilátero de área

15.

¿Cuál es la parte imaginaria de

z

?

Suppose

z

is a complex number with positive imaginary part, with real part greater than

1,

and with

|z| = 2.

In the complex plane, the four points

0,

z,

z^2,

and

z^3

are the vertices of a quadrilateral with area

15.

What is the imaginary part of

z?

\dfrac{3}{4}

1

\dfrac{4}{3}

\dfrac{3}{2}

\dfrac{5}{3}

Respuesta: D

Conceptos:número complejo fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

El área con signo del cuadrilátero

0 \to z \to z^2 \to z^3

es

\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|

.

The signed area of the quadrilateral

0 \to z \to z^2 \to z^3

is

\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\, z^3)\bigr|

Pista grande:

Como

\bar z z^2 = |z|^2 z

y

\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z,

el área es

\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z);

sustituye

|z| = 2

Since

\bar z z^2 = |z|^2 z

and

\overline{z^2} z^3 = |z|^4 z,

the area is

\tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z);

plug in

|z| = 2

Solución:

Para los vértices

0, z, z^2, z^3

la fórmula del cordón da el área

\begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}

Con

|z| = 2,

esto es

\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z).

Igualando

10\operatorname{Im}(z) = 15

se obtiene

\operatorname{Im}(z) = \dfrac32.

(Entonces

\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1,

como se requería.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For vertices

0, z, z^2, z^3

the shoelace formula gives area

\begin{aligned} &\tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}(\bar z z^2 + \overline{z^2}\,z^3)\bigr| \\ &= \tfrac12\,\bigl|\operatorname{Im}\bigl((|z|^2 + |z|^4)z\bigr)\bigr| \\ &= \tfrac12(|z|^2 + |z|^4)\operatorname{Im}(z). \end{aligned}

With

|z| = 2,

this is

\tfrac12(4 + 16)\operatorname{Im}(z) = 10\operatorname{Im}(z).

Setting

10\operatorname{Im}(z) = 15

gives

\operatorname{Im}(z) = \dfrac32.

(Then

\operatorname{Re}(z) = \sqrt{4 - \tfrac94} = \tfrac{\sqrt7}{2} \gt 1,

as required.)

Thus, the correct answer is D.