2023 AMC 12B Problema 25

Question

Un pentágono regular con área

\sqrt{5}+1

se imprime en papel y se recorta. Los cinco vértices del pentágono se doblan hacia el centro del pentágono, creando un pentágono más pequeño. ¿Cuál es el área del nuevo pentágono?

A regular pentagon with area

\sqrt{5}+1

is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

4-\sqrt{5}

\sqrt{5}-1

8-3\sqrt{5}

\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

\dfrac{2+\sqrt{5}}{3}

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular plegado de papel razón de áreas

Nivel de dificultad: 2490

Pista pequeña:

Doblar un vértice hacia el centro crea un pliegue a lo largo de la mediatriz del segmento que va del centro a ese vértice

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex

Pista grande:

El nuevo pentágono es regular con apotema

\frac{R}{2};

compárala con la apotema original

R\cos 36^\circ

The new pentagon is regular with apothem

\frac{R}{2};

compare to the original apothem

R\cos 36^\circ

Solución:

Sea el circunradio del pentágono original

R.

Doblar un vértice hacia el centro crea un pliegue a lo largo de la mediatriz del segmento que va del centro a ese vértice, una recta a distancia

\tfrac{R}{2}

del centro. Los cinco pliegues delimitan un pentágono regular con apotema

\tfrac{R}{2},

mientras que el original tiene apotema

R\cos 36^\circ.

Las áreas escalan como el cuadrado de la apotema, así que la razón es

\frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.

Como

\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},

esta razón es

\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}

=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}

=\tfrac{2}{3+\sqrt5}

=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.

Multiplicando por el área original

\sqrt5+1

se obtiene

\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}

=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}

=\sqrt5-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the original pentagon have circumradius

R.

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex, a line at distance

\tfrac{R}{2}

from the center. The five creases bound a regular pentagon with apothem

\tfrac{R}{2},

whereas the original has apothem

R\cos 36^\circ.

Areas scale as the square of the apothem, so the ratio is

\frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}.

Since

\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4},

this ratio is

\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2}

=\tfrac{4}{6+2\sqrt5}

=\tfrac{2}{3+\sqrt5}

=\tfrac{3-\sqrt5}{2}.

Multiplying by the original area

\sqrt5+1

gives

\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2}

=\tfrac{2\sqrt5-2}{2}

=\sqrt5-1.

Thus, the correct answer is B.