2023 AMC 12A Problema 4

Question

¿Cuántos dígitos tiene la representación en base diez de

8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5

?

How many digits are in the base-ten representation of

8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5?

14

15

16

17

18

Factoriza cada base en primos:

8=2^3,

15=3\cdot 5

Factor each base into primes:

8=2^3,

15=3\cdot 5

Empareja cada

2

con un

5

para formar una potencia de

10,

dejando un factor pequeño

Pair every

2

with a

5

to form a power of

10,

leaving a small factor

Escribiendo todo en primos,

\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}

Esto es igual a

3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},

que es

243

seguido de

15

ceros, para un total de

18

dígitos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Writing everything in primes,

\begin{gathered} 8^5\cdot 5^{10}\cdot 15^5\\ {}=2^{15}\cdot 5^{10}\cdot 3^5\cdot 5^5\\ {}=3^5\cdot 2^{15}\cdot 5^{15}. \end{gathered}

This equals

3^5\cdot 10^{15}=243\cdot 10^{15},

which is

243

followed by

15

zeros, for a total of

18

digits.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 4 en otros años