2023 AMC 12A Problema 23

Question

¿Cuántos pares ordenados de números reales positivos

(a,b)

satisfacen la ecuación

\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}

How many ordered pairs of positive real numbers

(a,b)

satisfy the equation

\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}=32ab? \end{gathered}

0

1

2

3

un número infinito

an infinite number

Aplica AM-GM por separado a

1+2a,

2+2b,

y

2a+b

Apply AM-GM separately to

1+2a,

2+2b,

and

2a+b

El producto es al menos

32ab,

así que la igualdad debe cumplirse en las tres desigualdades a la vez

The product is at least

32ab,

so equality must hold in all three inequalities at once

Por AM-GM,

1+2a\ge 2\sqrt{2a},

2+2b\ge 4\sqrt{b},

y

2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.

Multiplicando,

\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}

La igualdad requiere

1=2a,

2=2b,

y

2a=b

simultáneamente. Estas dan

a=\tfrac12,

b=1,

que son consistentes, así que hay exactamente una solución.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

By AM-GM,

1+2a\ge 2\sqrt{2a},

2+2b\ge 4\sqrt{b},

and

2a+b\ge 2\sqrt{2ab}.

Multiplying,

\begin{gathered} (1+2a)(2+2b)(2a+b)\\ {}\ge 16\sqrt{2a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{2ab}\\ {}=32ab. \end{gathered}

Equality requires

1=2a,

2=2b,

and

2a=b

simultaneously. These give

a=\tfrac12,

b=1,

which are consistent, so there is exactly one solution.

Thus, the correct answer is B.

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