Question

En un torneo de tenis de mesa cada participante jugó contra cada otro participante exactamente una vez. Aunque había el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, el número de partidos ganados por los jugadores zurdos fue $40\%$ mayor que el número de partidos ganados por los jugadores diestros. (No hubo empates ni jugadores ambidiestros.) ¿Cuál es el número total de partidos jugados?

In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

$15$

$36$

$45$

$48$

$66$

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

$L$ $2L$ $3L$ $\binom{3L}{2}$

Supón que hay $R$ jugadores zurdos y $1.4R,$ diestros, para $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ jugadores y $12.$ partidos en total.

Si los diestros ganan $\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.$ partidos, los zurdos ganan $\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8$ así que el total es $21L-7\le 20L-4,$ Para que sea un conteo entero, el número total de partidos debe ser un múltiplo de $L\le 3.$

Probando $L=1,2,3$ se obtienen totales $3,15,36;$ solo $36$ es múltiplo de $12.$ y es alcanzable (los $3$ zurdos pueden ganar los $18$ partidos mixtos más sus $3$ partidos internos, para $21=1.4\cdot 15$ victorias).

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let there be $L$ left-handed and $2L$ right-handed players, for $3L$ players and $\binom{3L}{2}$ games total.

If right-handers win $R$ games, left-handers win $1.4R,$ so the total is $2.4R=\tfrac{12}{5}R.$ For this to be an integer count, the total number of games must be a multiple of $12.$

The left-handers can win at most every game involving at least one left-hander, namely $\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.$ On the other hand, they must win $\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8$ games. Comparing these quantities gives $21L-7\le 20L-4,$ so $L\le 3.$

Testing $L=1,2,3$ gives totals $3,15,36;$ only $36$ is a multiple of $12.$ It is achievable: the $3$ left-handers can win all $18$ mixed games and their $3$ internal games, giving $21=1.4\cdot 15$ wins.

Thus, the correct answer is B.

2023 AMC 12A Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

El Problema 13 en otros años