2023 AMC 12A Problema 13

Question

En un torneo de tenis de mesa cada participante jugó contra cada otro participante exactamente una vez. Aunque había el doble de jugadores diestros que de jugadores zurdos, el número de partidos ganados por los jugadores zurdos fue

40\%

mayor que el número de partidos ganados por los jugadores diestros. (No hubo empates ni jugadores ambidiestros.) ¿Cuál es el número total de partidos jugados?

In a table tennis tournament every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was

40\%

more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

15

36

45

48

66

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones divisibilidad

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Supón que hay

L

jugadores zurdos y

2L

diestros, así que hay

3L

jugadores en total

Let there be

L

left-handed and

2L

right-handed players, so

3L

players total

Pista grande:

Si los diestros ganan

R

partidos, el total es

2.4R,

así que el total debe ser un múltiplo de

12

If right-handers win

R

games, the total is

2.4R,

so the total must be a multiple of

12

Solución:

Supón que hay

L

jugadores zurdos y

2L

diestros, de modo que hay

3L

jugadores y

\binom{3L}{2}

partidos en total.

Si los diestros ganan

R

partidos, los zurdos ganan

1.4R,

así que el total es

2.4R=\tfrac{12}{5}R.

Para que ese conteo sea entero, el número total de partidos debe ser un múltiplo de

12.

Los zurdos pueden ganar a lo sumo todos los partidos en los que interviene al menos un zurdo, es decir

\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.

Por otra parte, deben ganar

\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8

partidos. Al comparar estas cantidades se obtiene

21L-7\le 20L-4,

así que

L\le 3.

Probando

L=1,2,3

se obtienen totales

3,15,36;

solo

36

es múltiplo de

12.

Es alcanzable: los

3

zurdos pueden ganar los

18

partidos mixtos y sus

3

partidos internos, lo que da

21=1.4\cdot 15

victorias.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let there be

L

left-handed and

2L

right-handed players, for

3L

players and

\binom{3L}{2}

games total.

If right-handers win

R

games, left-handers win

1.4R,

so the total is

2.4R=\tfrac{12}{5}R.

For this to be an integer count, the total number of games must be a multiple of

12.

The left-handers can win at most every game involving at least one left-hander, namely

\binom{L}{2}+2L^2=\tfrac{5L^2-L}{2}.

On the other hand, they must win

\tfrac{7}{12}\binom{3L}{2}=\tfrac{7L(3L-1)}8

games. Comparing these quantities gives

21L-7\le 20L-4,

so

L\le 3.

Testing

L=1,2,3

gives totals

3,15,36;

only

36

is a multiple of

12.

It is achievable: the

3

left-handers can win all

18

mixed games and their

3

internal games, giving

21=1.4\cdot 15

wins.

Thus, the correct answer is B.