2023 AMC 12A Problema 12

Intenta el Problema 12 del 2023 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

12.

¿Cuál es el valor de

\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}

What is the value of

\begin{gathered} 2^3-1^3+4^3-3^3+6^3-5^3\\ {}+\cdots+18^3-17^3? \end{gathered}

2023

2679

2941

3159

3235

Respuesta: D

Conceptos:suma y diferencia de cubos suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Agrupa los términos en pares

(2k)^3-(2k-1)^3

para

k=1

hasta

9

Group the terms into pairs

(2k)^3-(2k-1)^3

for

k=1

to

9

Pista grande:

Cada par es igual a

12k^2-6k+1;

suma usando

\sum k^2

y

\sum k

Each pair equals

12k^2-6k+1;

sum using

\sum k^2

and

\sum k

Solución:

Agrupa en pares

(2k)^3-(2k-1)^3

para

k=1,\ldots,9.

Al desarrollar,

\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}

Sumando para

k=1

hasta

9,

con

\sum k^2=285

y

\sum k=45,

se obtiene

\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Group into pairs

(2k)^3-(2k-1)^3

for

k=1,\ldots,9.

Expanding,

\begin{gathered} (2k)^3-(2k-1)^3\\ {}=12k^2-6k+1. \end{gathered}

Summing for

k=1

to

9,

with

\sum k^2=285

and

\sum k=45,

gives

\begin{gathered} 12\cdot 285-6\cdot 45+9\\ {}=3420-270+9\\ {}=3159. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.

El Problema 12 en otros años