2022 AMC 12B Problema 4

Question

¿Para cuántos valores de la constante

k

el polinomio

x^2 + kx + 36

tiene dos raíces enteras distintas?

For how many values of the constant

k

will the polynomial

x^2 + kx + 36

have two distinct integer roots?

6

8

9

14

16

Respuesta: B

Conceptos:Fórmulas de Vieta factor enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Si las raíces son

p

y

q,

entonces

pq = 36

y

k = -(p+q)

.

If the roots are

p

and

q,

then

pq = 36

and

k = -(p+q)

Pista grande:

Cuenta los pares de factores no ordenados de

36

con dos enteros distintos, incluyendo los negativos.

Count the ordered-independent factor pairs of

36

with two distinct integers, including negatives

Solución:

Si las raíces son los enteros

p

y

q,

entonces

pq = 36

y

k = -(p+q).

Las raíces distintas deben tener el mismo signo, así que listamos los pares de factores de

36

con

p \ne q.

Los pares positivos son

(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),

y los pares negativos son

(-1,-36),

(-2,-18),

(-3,-12),

(-4,-9).

El par

(6,6)

se excluye porque las raíces deben ser distintas.

Cada uno de estos

8

pares da un valor distinto de

k.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If the roots are integers

p

and

q,

then

pq = 36

and

k = -(p+q).

Distinct roots must have the same sign, so we list factor pairs of

36

with

p \ne q.

The positive pairs are

(1,36), (2,18), (3,12), (4,9),

and the negative pairs are

(-1,-36),

(-2,-18),

(-3,-12),

(-4,-9).

The pair

(6,6)

is excluded since the roots must be distinct.

Each of these

8

pairs gives a different value of

k.

Thus, the correct answer is B.