2022 AMC 12B Problema 13

Question

El diagrama de abajo muestra un rectángulo de lados

4

y

8

y un cuadrado de lado

5.

Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths

4

and

8

and a square with side length

5.

Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

15\dfrac18

15\dfrac38

15\dfrac12

15\dfrac58

15\dfrac78

Respuesta: D

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Establece coordenadas; la inclinación del cuadrado forma triángulos rectángulos

3

-

4

-

5

en las esquinas.

Set up coordinates; the tilt of the square makes

3

-

4

-

5

right triangles at the corners

Pista grande:

Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo un triángulo que sobresale por el borde superior; resta ese triángulo de

25

.

The whole square lies inside the rectangle except one triangle sticking out past the top edge; subtract that triangle from

25

Solución:

Coloca el rectángulo como

[0,8] \times [0,4].

El cuadrado inclinado, usando los triángulos rectángulos

3

-

4

-

5

, tiene vértices

(4, 0),

(0, 3),

(3, 7),

y

(7, 4).

Todo el cuadrado está dentro del rectángulo salvo el triángulo que sobresale por encima del borde superior

y = 4.

Ese triángulo tiene vértices

(0.75, 4),

(3, 7),

y

(7, 4),

con área

\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.

La región que está en ambos es

25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Place the rectangle as

[0,8] \times [0,4].

The tilted square, using the

3

-

4

-

5

right triangles, has vertices

(4, 0),

(0, 3),

(3, 7),

and

(7, 4).

The entire square lies inside the rectangle except for the triangle poking above the top edge

y = 4.

That triangle has vertices

(0.75, 4),

(3, 7),

and

(7, 4),

with area

\dfrac12 \cdot (7 - 0.75) \cdot (7 - 4) = \dfrac{75}{8}.

The region inside both is

25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8} = 15\dfrac58.

Thus, the correct answer is D.