2022 AMC 12A Problema 25

Question

Una circunferencia de radio entero

r

está centrada en

(r,r).

Segmentos de recta distintos de longitud

c_i

conectan los puntos

(0,a_i)

con

(b_i,0)

para

1\le i\le14

y son tangentes a la circunferencia, donde

a_i,

b_i,

y

c_i

son todos enteros positivos y

c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.

¿Cuál es la razón

\dfrac{c_{14}}{c_1}

para el menor valor posible de

r

?

A circle with integer radius

r

is centered at

(r,r).

Distinct line segments of length

c_i

connect points

(0,a_i)

to

(b_i,0)

for

1\le i\le14

and are tangent to the circle, where

a_i,

b_i,

and

c_i

are all positive integers and

c_1\le c_2\le\cdots\le c_{14}.

What is the ratio

\dfrac{c_{14}}{c_1}

for the least possible value of

r?

\dfrac{21}{5}

\dfrac{85}{13}

7

\dfrac{39}{5}

17

Respuesta: E

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Terna pitagórica conteo de factores

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Un segmento de

(0,a)

a

(b,0)

tangente a esta circunferencia hace que

r

sea el inradio o el semiperímetro del triángulo rectángulo con catetos

a,b

A segment from

(0,a)

to

(b,0)

tangent to this circle makes

r

the inradius or the semiperimeter of the right triangle with legs

a,b

Pista grande:

Para el caso del inradio,

(a-2r)(b-2r)=2r^2,

así que los divisores positivos de

2r^2

cuentan los segmentos orientados

For the inradius case,

(a-2r)(b-2r)=2r^2,

so positive divisors of

2r^2

count the oriented segments

Solución:

El círculo de centro

(r,r)

y radio

r

es tangente a ambos ejes. Un segmento de

(0,a)

a

(b,0)

con

a^2+b^2=c^2

es tangente al círculo cuando

r

es el inradio

\tfrac{a+b-c}{2}

o el semiperímetro

\tfrac{a+b+c}{2}

del triángulo rectángulo de catetos

a,b.

En el caso del inradio, sean

x=a-2r

y

y=b-2r.

Entonces

xy=2r^2,

y cada divisor positivo

x

determina un segmento orientado, con

a=x+2r,

b=\frac{2r^2}{x}+2r,

y

c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.

Por tanto, hay exactamente

d(2r^2)

segmentos de este tipo.

Para

r=1,2,3,4,5,

estas cantidades son

2,4,6,6,6,

y no hay caso de semiperímetro porque el menor triángulo rectángulo entero tiene semiperímetro

6.

Para

r=6,

d(72)=12,

y el triángulo

3

-

4

-

5

aporta otros dos segmentos orientados. Por tanto,

6

es el menor radio posible y produce exactamente

14

segmentos.

Los dos segmentos del caso del semiperímetro tienen

c=5.

En la familia del inradio,

c=x+\frac{72}{x}+12

es máximo en

x=1

o

72,

y da

c=85.

Así,

c_1=5,

c_{14}=85,

y

\frac{c_{14}}{c_1}=17.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle centered

(r,r)

with radius

r

is tangent to both axes. A segment from

(0,a)

to

(b,0)

with

a^2+b^2=c^2

is tangent to it when

r

equals either the inradius

\tfrac{a+b-c}{2}

or the semiperimeter

\tfrac{a+b+c}{2}

of the right triangle with legs

a,b.

In the inradius case, put

x=a-2r

and

y=b-2r.

Then

xy=2r^2,

and every positive divisor

x

determines one oriented segment, with

a=x+2r,

b=\frac{2r^2}{x}+2r,

and

c=x+\frac{2r^2}{x}+2r.

Thus there are exactly

d(2r^2)

such segments.

For

r=1,2,3,4,5,

these counts are

2,4,6,6,6,

and no semiperimeter case is possible because the smallest integer right triangle has semiperimeter

6.

At

r=6,

d(72)=12,

and the

3

-

4

-

5

triangle contributes two more oriented segments. Hence

6

is the least possible radius and gives exactly

14

segments.

The two semiperimeter segments have

c=5.

In the inradius family,

c=x+\frac{72}{x}+12

is largest at

x=1

or

72,

giving

c=85.

Therefore

c_1=5,

c_{14}=85,

and

\frac{c_{14}}{c_1}=17.

Thus, the correct answer is E.