2021 AMC 12B Fall Problema 25

Question

Para

n

un entero positivo, sea

R(n)

la suma de los residuos cuando

n

se divide entre

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

y

10.

Por ejemplo,

\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}

¿Cuántos enteros positivos de dos dígitos

n

satisfacen

R(n) = R(n + 1)?

For

n

a positive integer, let

R(n)

be the sum of the remainders when

n

is divided by

2,

3,

4,

5,

6,

7,

8,

9,

and

10.

For example,

\begin{aligned} &R(15) = 1 + 0 + 3 + 0 + 3 \\ &\quad {}+ 1 + 7 + 6 + 5 = 26. \end{aligned}

How many two-digit positive integers

n

satisfy

R(n) = R(n + 1)?

0

1

2

3

4

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular divisibilidad

Nivel de dificultad: 2800

Pista pequeña:

Cuando

n

aumenta en

1,

cada residuo sube en

1

a menos que

n+1

sea divisible por

m,

en cuyo caso cae a

0

.

When

n

increases by

1,

each remainder rises by

1

unless

n+1

is divisible by

m,

where it drops to

0

Pista grande:

R(n+1) - R(n)

= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,

así que necesitas que los divisores de

n+1

entre

2, \ldots, 10

sumen

9

.

R(n+1) - R(n)

= 9 - \sum_{m \mid n+1} m,

so you need the divisors of

n+1

among

2, \ldots, 10

to sum to

9

Solución:

Al pasar de

n

a

n + 1,

cada residuo

n \bmod m

aumenta en

1

, salvo que

n + 1

sea divisible por

m,

en cuyo caso baja de

m - 1

a

0.

Por tanto,

\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}

Los enteros distintos de

2

a

10

pueden sumar

9

solo como

\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},

o

\{2,3,4\}.

El cierre por divisibilidad elimina todos los casos salvo

\{2,7\}:

por ejemplo, un múltiplo de

9

también tiene divisor

3,

y uno de

6

también tiene divisores

2

y

3.

Así,

n+1

debe ser múltiplo de

14

sin ningún otro divisor en

\{2,\ldots,10\}.

Al probar los múltiplos

14,28,42,56,70,84,98

del intervalo requerido, quedan solo

14

y

98.

Por tanto,

n=13

o

n=97,

lo que da

2

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Going from

n

to

n + 1,

each remainder

n \bmod m

increases by

1

unless

n + 1

is divisible by

m,

in which case it drops from

m - 1

to

0.

So

\begin{aligned} &R(n+1) - R(n) \\ &= 9 - \sum_{\substack{2 \le m \le 10 \\ m \mid n+1}} m. \end{aligned}

Distinct integers from

2

through

10

can sum to

9

only as

\{9\},\{2,7\},\{3,6\},\{4,5\},

or

\{2,3,4\}.

Divisibility closure eliminates every case except

\{2,7\}:

for example, a multiple of

9

also has divisor

3,

and a multiple of

6

also has divisors

2

and

3.

Thus

n+1

must be a multiple of

14

with no other divisor in

\{2,\ldots,10\}.

Testing the multiples

14,28,42,56,70,84,98

in the required range leaves only

14

and

98.

Hence

n=13

or

n=97,

giving

2

values.

Thus, the correct answer is C.