2021 AMC 12B Spring Problema 23

Question

Se lanzan tres bolas de forma aleatoria e independiente en contenedores numerados con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en el contenedor

i

es

2^{-i}

para

i=1,

2,

3,

\ldots.

Se permite más de una bola en cada contenedor. La probabilidad de que las bolas terminen equidistantes en contenedores distintos es

\dfrac{p}{q},

donde

p

y

q

son enteros positivos primos entre sí. (Por ejemplo, las bolas están equidistantes si se lanzan a los contenedores

3,

17,

y

10.

) ¿Cuánto vale

p+q

?

Three balls are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin

i

is

2^{-i}

for

i=1,

2,

3,

\ldots.

More than one ball is allowed in each bin. The probability that the balls end up evenly spaced in distinct bins is

\dfrac{p}{q},

where

p

and

q

are relatively prime positive integers. (For example, the balls are evenly spaced if they are tossed into bins

3,

17,

and

10.

) What is

p+q?

55

56

57

58

59

Respuesta: A

Conceptos:probabilidad básica sucesión geométrica sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Equidistantes significa que los contenedores son

n, n+d, n+2d

para ciertos

n,d\ge 1;

sus números suman

3(n+d)

Evenly spaced means the bins are

n, n+d, n+2d

for some

n,d\ge 1;

their labels sum to

3(n+d)

Pista grande:

Cada asignación ordenada así tiene probabilidad

2^{-3(n+d)},

y hay

3!

ordenamientos de las tres bolas

Each such ordered assignment has probability

2^{-3(n+d)},

and there are

3!

orderings of the three balls

Solución:

Los contenedores distintos y equidistantes forman una progresión aritmética

n,n+d,n+2d

con

n,d\ge 1.

Los tres números suman

3(n+d),

así que una asignación fija de bolas a estos contenedores tiene probabilidad

2^{-3(n+d)}.

Las tres bolas pueden ordenarse de

3!=6

maneras, así que la probabilidad total es

6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}

=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2

=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.

Como

\gcd(6,49)=1,

obtenemos

p+q=6+49=55.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Evenly spaced distinct bins form an arithmetic progression

n,n+d,n+2d

with

n,d\ge 1.

The three labels sum to

3(n+d),

so a fixed assignment of balls to these bins has probability

2^{-3(n+d)}.

The three balls can be ordered in

3!=6

ways, so the total probability is

6\sum_{n\ge 1}\sum_{d\ge 1}2^{-3(n+d)}

=6\left(\sum_{n\ge 1}\tfrac{1}{8^n}\right)^2

=6\cdot\tfrac17\cdot\tfrac17=\tfrac{6}{49}.

Since

\gcd(6,49)=1,

we get

p+q=6+49=55.

Thus, the correct answer is A.