2021 AMC 12B Spring Problema 13

Question

¿Cuántos valores de

\theta

en el intervalo

0\lt\theta\le 2\pi

satisfacen la siguiente ecuación?

1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0

How many values of

\theta

in the interval

0\lt\theta\le 2\pi

satisfy the following equation?

1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0

2

4

5

6

8

Respuesta: D

Conceptos:trigonometría enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El término

5\cos 3\theta

oscila entre

-5

y

5,

dominando al lentamente variable

1-3\sin\theta

The term

5\cos 3\theta

swings between

-5

and

5,

dominating the slowly varying

1-3\sin\theta

Pista grande:

Comprueba

f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta

en los múltiplos de

60^\circ,

y luego usa

f'

para descartar raíces adicionales

Check

f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta

at multiples of

60^\circ,

then use

f'

to rule out extra roots

Solución:

Sea

f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.

En

\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi,

sus signos alternan

+,-,+,-,+,-,+.

Por tanto, hay al menos una raíz en cada uno de los seis intervalos intermedios.

En cualquier raíz,

5\cos3\theta=3\sin\theta-1.

En consecuencia,

\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}

De aquí,

15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|.

En el intervalo

(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}),

el signo de

f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta

es, en cada raíz,

(-1)^{k+1}

.

Así, todas las raíces de un mismo intervalo cruzan el eje en la misma dirección. Si hubiera dos, tendría que haber entre ellas otro cruce en la dirección opuesta. Por tanto, cada intervalo contiene exactamente una raíz y hay

6

soluciones en total.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta.

At

\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi,

its signs alternate

+,-,+,-,+,-,+.

Therefore there is at least one root in each of the six intervening intervals.

At any root,

5\cos3\theta=3\sin\theta-1.

Consequently

\begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}

Hence

15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|.

In the interval

(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}),

the sign of

f'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta

is therefore

(-1)^{k+1}

at every root.

Thus every root in a given interval crosses the axis in the same direction. Two such roots would require an intervening crossing in the opposite direction, so each interval has exactly one root. There are

6

solutions in all.

Thus, the correct answer is D.