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2021 AMC 12B Spring Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

¿Cuántos valores de θ\theta en el intervalo 0<θ≤2π0\lt\theta\le 2\pi satisfacen 1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ=0?1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?

How many values of θ\theta in the interval 0<θ≤2π0\lt\theta\le 2\pi satisfy 1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ=0?1-3\sin\theta+5\cos 3\theta=0?

22

44

55

66

88

Respuesta: D
Conceptos:trigonometríaenumeración sistemática
Nivel de dificultad: 1850
Solución:

Sea f(θ)=1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ.f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta. El término rápido θ=0,π3,2π3,…,2π,\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi, completa tres oscilaciones mientras +,−,+,−,+,−,+.+,-,+,-,+,-,+. se mantiene entre y

Evaluando 5cos⁡3θ=3sin⁡θ−1.5\cos3\theta=3\sin\theta-1. en 15∣sin⁡3θ∣>3∣cos⁡θ∣.15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|. los valores son (kπ3,(k+1)π3),(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}), f′(θ)=−3cos⁡θ−15sin⁡3θf'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta lo que muestra seis cambios de signo, y por tanto seis raíces. (−1)k+1(-1)^{k+1} 25sin⁡23θ−cos⁡2θ=23+6sin⁡θ−8sin⁡2θ>0. \begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned}

Cada cambio de signo corresponde exactamente a una solución, así que hay 66 valores de

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let f(θ)=1−3sin⁡θ+5cos⁡3θ.f(\theta)=1-3\sin\theta+5\cos 3\theta. At θ=0,π3,2π3,…,2π,\theta=0,\tfrac\pi3,\tfrac{2\pi}3,\ldots,2\pi, its signs alternate +,−,+,−,+,−,+.+,-,+,-,+,-,+. Therefore there is at least one root in each of the six intervening intervals.

At any root, 5cos⁡3θ=3sin⁡θ−1.5\cos3\theta=3\sin\theta-1. Consequently 25sin⁡23θ−cos⁡2θ=23+6sin⁡θ−8sin⁡2θ>0. \begin{aligned} &25\sin^2 3\theta-\cos^2\theta \\ &\quad =23+6\sin\theta-8\sin^2\theta>0. \end{aligned} Hence 15∣sin⁡3θ∣>3∣cos⁡θ∣.15|\sin3\theta|>3|\cos\theta|. In the interval (kπ3,(k+1)π3),(\tfrac{k\pi}{3},\tfrac{(k+1)\pi}{3}), the sign of f′(θ)=−3cos⁡θ−15sin⁡3θf'(\theta)=-3\cos\theta-15\sin3\theta is therefore (−1)k+1(-1)^{k+1} at every root.

Thus every root in a given interval crosses the axis in the same direction. Two such roots would require an intervening crossing in the opposite direction, so each interval has exactly one root. There are 66 solutions in all.

Thus, the correct answer is D.

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El Problema 13 en otros años

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