2020 AMC 12B Problema 25

Question

Para cada número real

a

con

0 \le a \le 1,

elige

x

y

y

de forma independiente y al azar de los intervalos

[0, a]

y

[0, 1],

respectivamente, y sea

P(a)

la probabilidad de que

\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1.

¿Cuál es el valor máximo de

P(a)

?

For each real number

a

with

0 \le a \le 1,

let numbers

x

and

y

be chosen independently at random from the intervals

[0, a]

and

[0, 1],

respectively, and let

P(a)

be the probability that

\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1.

What is the maximum value of

P(a)?

\dfrac{7}{12}

2 - \sqrt{2}

\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}

\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}

\dfrac58

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad geométrica optimización cálculo

Nivel de dificultad: 2540

Pista pequeña:

La condición es

|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|;

fijando

x,

la probabilidad sobre

y

es una función triangular simple.

The condition is

|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|;

for fixed

x,

the probability over

y

is a simple triangular function

Pista grande:

Expresa

P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx

donde

g

primero sube y luego baja, y luego maximiza sobre

a

.

Express

P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx

where

g

rises then falls, then maximize over

a

Solución:

Como

\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y),

la condición es

|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|.

Fijando

x,

la probabilidad sobre

y \in [0, 1]

es

g(x) = 2x

para

0 \le x \le \tfrac12

y

g(x) = 2 - 2x

para

\tfrac12 \le x \le 1.

Entonces

P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx.

Para

a \le \tfrac12,

P(a) = a,

que crece hasta

\tfrac12.

Para

a \ge \tfrac12,

\begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}

Igualando la derivada a cero se obtiene

2a^2 = 1,

así que

a = \tfrac{1}{\sqrt2},

y

P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y),

the condition is

|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|.

For fixed

x,

the probability over

y \in [0, 1]

is

g(x) = 2x

for

0 \le x \le \tfrac12

and

g(x) = 2 - 2x

for

\tfrac12 \le x \le 1.

Then

P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx.

For

a \le \tfrac12,

P(a) = a,

increasing to

\tfrac12.

For

a \ge \tfrac12,

\begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}

Setting the derivative to zero gives

2a^2 = 1,

so

a = \tfrac{1}{\sqrt2},

and

P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.

Thus, the correct answer is B.