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2020 AMC 12A Problema 18

Intenta el Problema 18 del 2020 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

18.

El cuadrilátero ABCDABCD cumple ∠ABC=∠ACD=90∘,\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AC=20,AC = 20, y CD=30.CD = 30. Las diagonales ACAC y BDBD se cortan en el punto E,E, y AE=5.AE = 5. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ABCDABCD?
Quadrilateral ABCDABCD satisfies ∠ABC=∠ACD=90∘,\angle ABC = \angle ACD = 90^\circ, AC=20,AC = 20, and CD=30.CD = 30. Diagonals ACAC and BDBD intersect at point E,E, and AE=5.AE = 5. What is the area of quadrilateral ABCD?ABCD?
330330
340340
350350
360360
370370
Respuesta: D
Conceptos:geometría analíticacírculodescomposición de áreas
Nivel de dificultad: 1800
Pista pequeña:
Coloca A=(0,0),A = (0,0), C=(20,0),C = (20, 0), y D=(20,30),D = (20, 30), de modo que E=(5,0)E = (5, 0)
Place A=(0,0),A = (0,0), C=(20,0),C = (20, 0), and D=(20,30),D = (20, 30), so E=(5,0)E = (5, 0)
Pista grande:
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB está en el círculo de diámetro AC;AC; también está en la recta DEDE
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle with diameter AC;AC; it also lies on line DEDE
Solución:
Coloca A=(0,0)A = (0,0) y C=(20,0).C = (20, 0). Como ∠ACD=90∘,\angle ACD = 90^\circ, D=(20,30),D = (20, 30), y E=(5,0)E = (5, 0) porque AE=5.AE = 5.
Como ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB está en el círculo de radio 1010 centrado en (10,0).(10, 0). La recta DEDE es (5+t, 2t);(5 + t,\, 2t); sustituyendo se obtiene t2−2t−15=0,t^2 - 2t - 15 = 0, así que t=5t = 5 o t=−3.t = -3.
Para que EE esté entre BB y D,D, toma t=−3,t = -3, lo que da B=(2,−6),B = (2, -6), a una distancia 66 por debajo de la recta AC.AC.
Entonces [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300 y [ABC]=12⋅20⋅6=60,[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60, así que el área total es 360.360.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Place A=(0,0)A = (0,0) and C=(20,0).C = (20, 0). Since ∠ACD=90∘,\angle ACD = 90^\circ, D=(20,30),D = (20, 30), and E=(5,0)E = (5, 0) because AE=5.AE = 5.
Since ∠ABC=90∘,\angle ABC = 90^\circ, BB lies on the circle of radius 1010 centered at (10,0).(10, 0). Line DEDE is (5+t, 2t);(5 + t,\, 2t); substituting gives t2−2t−15=0,t^2 - 2t - 15 = 0, so t=5t = 5 or t=−3.t = -3.
For EE to lie between BB and D,D, take t=−3,t = -3, giving B=(2,−6),B = (2, -6), a distance 66 below line AC.AC.
Then [ACD]=12⋅20⋅30=300[ACD] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 30 = 300 and [ABC]=12⋅20⋅6=60,[ABC] = \tfrac12 \cdot 20 \cdot 6 = 60, so the total area is 360.360.
Thus, D is the correct answer.

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