Question

Existen enteros $a,$ $b,$ y $c,$ cada uno mayor que $1,$ tales que para todo $N \gt 1.$ se cumple ¿Cuánto vale $b$ ? $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$

There are integers $a,$ $b,$ and $c,$ each greater than $1,$ such that $\sqrt[a]{N \sqrt[b]{N \sqrt[c]{N}}} = \sqrt[36]{N^{25}}$ for all $N \gt 1.$ What is $b?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Respuesta: B

Conceptos:radical exponente

Nivel de dificultad: 1590

Solución:

El lado izquierdo es $N$ elevado al exponente $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ que debe ser igual a $\dfrac{25}{36}.$

Como $b,c\ge2,$ este exponente es a lo sumo $\dfrac{7}{4a}.$ Si $a\ge3,$ es a lo sumo $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ así que $a=2.$ La ecuación se convierte en $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Al eliminar denominadores, $c(7b-18)=18.$ Sea $d=7b-18,$ de modo que $d$ es un divisor positivo de $18.$ Entre $1,2,3,6,9,18,$ solo $d=3$ hace que $b=\dfrac{d+18}{7}$ sea entero. Por tanto, $b=3$ y $c=6.$

Así, B es la respuesta correcta.

The left side equals $N$ raised to the exponent $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{abc},$ which must equal $\dfrac{25}{36}.$

Because $b,c\ge2,$ this exponent is at most $\dfrac{7}{4a}.$ If $a\ge3,$ it is at most $\dfrac{7}{12}\lt\dfrac{25}{36},$ so $a=2.$ The equation becomes $\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2bc}=\dfrac{7}{36}.$

Clearing denominators gives $c(7b-18)=18.$ Set $d=7b-18,$ so $d$ is a positive divisor of $18.$ Among $1,2,3,6,9,18,$ only $d=3$ makes $b=\dfrac{d+18}{7}$ an integer. Hence $b=3$ and $c=6.$

Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 12A Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1590

Solución:

El Problema 13 en otros años