2019 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

¿Cuántas sucesiones de

0

y

1

de longitud

19

hay que comiencen con

0,

terminen con

0,

no contengan dos

0

consecutivos y no contengan tres

1

consecutivos?

How many sequences of

0

s and

1

s of length

19

are there that begin with a

0,

end with a

0,

contain no two consecutive

0

s, and contain no three consecutive

1

s?

55

60

65

70

75

Respuesta: C

Conceptos:particiones y composiciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2050

Pista pequeña:

Entre

0

consecutivos hay un bloque de uno o dos

1

Between consecutive

0

s there is a block of one or two

1

s

Pista grande:

Con

k

ceros hay

k-1

bloques de tamaño

1

o

2

cuyos tamaños suman

19-k

With

k

zeros there are

k-1

blocks of size

1

or

2

whose sizes sum to

19-k

Solución:

No hay dos

0

adyacentes, así que los

0

están separados por bloques de

1

, cada uno de tamaño

1

o

2

(nunca

3

). Si hay

k

ceros, hay

k-1

de esos bloques que suman

19-k

unos.

El número de bloques de tamaño

2

es

(19-k)-(k-1)=20-2k,

que debe cumplir

0\le20-2k\le k-1,

es decir

7\le k\le10.

Sumar

\binom{k-1}{20-2k}

sobre

k=7,8,9,10

da

\binom66+\binom74+\binom82+\binom90

=1+35+28+1

=65.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

No two

0

s are adjacent, so the

0

s are separated by blocks of

1

s, each of size

1

or

2

(never

3

). If there are

k

zeros, there are

k-1

such blocks summing to

19-k

ones.

The number of size-

2

blocks is

(19-k)-(k-1)=20-2k,

which must satisfy

0\le20-2k\le k-1,

i.e.

7\le k\le10.

Summing

\binom{k-1}{20-2k}

over

k=7,8,9,10

gives

\binom66+\binom74+\binom82+\binom90

=1+35+28+1

=65.

Thus, C is the correct answer.

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