2019 AMC 12B Problema 18

Question

La pirámide de base cuadrada

ABCDE

tiene base

ABCD,

que mide

3

cm de lado, y altura

\overline{AE}

perpendicular a la base, que mide

6

cm. El punto

P

está en

\overline{BE},

a un tercio del camino de

B

a

E;

el punto

Q

está en

\overline{DE},

a un tercio del camino de

D

a

E;

y el punto

R

está en

\overline{CE},

a dos tercios del camino de

C

a

E.

¿Cuál es el área, en centímetros cuadrados, de

\triangle PQR

?

Square pyramid

ABCDE

has base

ABCD,

which measures

3

cm on a side, and altitude

\overline{AE}

perpendicular to the base, which measures

6

cm. Point

P

lies on

\overline{BE},

one third of the way from

B

to

E;

point

Q

lies on

\overline{DE},

one third of the way from

D

to

E;

and point

R

lies on

\overline{CE},

two thirds of the way from

C

to

E.

What is the area, in square centimeters, of

\triangle PQR?

\dfrac{3\sqrt2}{2}

\dfrac{3\sqrt3}{2}

2\sqrt2

2\sqrt3

3\sqrt2

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D vector área del triángulo

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pon

A=(0,0,0)

con

E=(0,0,6)

arriba de

A

Set

A=(0,0,0)

with

E=(0,0,6)

above

A

Pista grande:

Halla

P,Q,R,

luego calcula

\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

Find

P,Q,R,

then compute

\dfrac12\bigl|\vec{PQ}\times\vec{PR}\bigr|

Solución:

Coloca

A=(0,0,0),

\ B=(3,0,0),

\ C=(3,3,0),

\ D=(0,3,0),

\ E=(0,0,6).

Entonces

\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}

Así

\vec{PQ}=(-2,2,0)

y

\vec{PR}=(-1,1,2),

dando

\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).

El área es

\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Place

A=(0,0,0),

\ B=(3,0,0),

\ C=(3,3,0),

\ D=(0,3,0),

\ E=(0,0,6).

Then

\begin{gathered} P=(2,0,2), \\ Q=(0,2,2), \\ R=(1,1,4). \end{gathered}

So

\vec{PQ}=(-2,2,0)

and

\vec{PR}=(-1,1,2),

giving

\vec{PQ}\times\vec{PR}=(4,4,0).

The area is

\dfrac12\bigl|(4,4,0)\bigr|=\dfrac12\cdot4\sqrt2=2\sqrt2.

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 18

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1620

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 18 en otros años