2019 AMC 12B Problema 13

Question

Una bola roja y una bola verde se lanzan de manera aleatoria e independiente en cajas numeradas con los enteros positivos, de modo que para cada bola la probabilidad de que caiga en la caja

k

es

2^{-k}

para

k=1,

2,

3,

\ldots

¿Cuál es la probabilidad de que la bola roja caiga en una caja de número mayor que la bola verde?

A red ball and a green ball are randomly and independently tossed into bins numbered with the positive integers so that for each ball, the probability that it is tossed into bin

k

is

2^{-k}

for

k=1,

2,

3,

\ldots

What is the probability that the red ball is tossed into a higher-numbered bin than the green ball?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{2}{7}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3}{8}

\dfrac{3}{7}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad básica simetría probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Por simetría, que la roja sea mayor y que la verde sea mayor son igual de probables

By symmetry, red-higher and green-higher are equally likely

Pista grande:

Halla la probabilidad de un empate,

\displaystyle\sum_{k\ge1}\left(2^{-k}\right)^2

Find the probability of a tie,

\displaystyle\sum_{k\ge1}\left(2^{-k}\right)^2

Solución:

La probabilidad de que las bolas caigan en la misma caja es

\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac13. \end{gathered}

Por simetría, que la bola roja sea mayor y que la bola verde sea mayor son igual de probables, así que cada una tiene probabilidad

\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The probability the balls land in the same bin is

\begin{gathered} \sum_{k=1}^\infty \left(2^{-k}\right)^2=\sum_{k=1}^\infty 4^{-k} \\ =\dfrac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac13. \end{gathered}

By symmetry, the red ball being higher and the green ball being higher are equally likely, so each has probability

\dfrac{1-\tfrac13}{2}=\dfrac13.

Thus, C is the correct answer.