2019 AMC 12A Problema 21

Question

Sea

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.

¿Cuánto vale

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}

Let

z = \dfrac{1 + i}{\sqrt{2}}.

What is

\begin{aligned} &\left(z^{1^2} + z^{2^2} + z^{3^2} + \cdots + z^{12^2}\right) \\ &\quad {}\cdot \scriptsize \left(\dfrac{1}{z^{1^2}} + \dfrac{1}{z^{2^2}} + \dfrac{1}{z^{3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{z^{12^2}}\right)? \end{aligned}

18

72 - 36\sqrt{2}

36

72

72 + 36\sqrt{2}

Respuesta: C

Conceptos:raíces de la unidad número complejo aritmética modular

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

así que

z^{k^2}

depende solo de

k^2 \bmod 8

.

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

so

z^{k^2}

depends only on

k^2 \bmod 8

Pista grande:

Para

k = 1, \ldots, 12,

el exponente

k^2 \bmod 8

es

1

seis veces,

4

tres veces, y

0

tres veces

Over

k = 1, \ldots, 12,

the exponent

k^2 \bmod 8

is

1

six times,

4

three times, and

0

three times

Solución:

Como

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

tenemos

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},

que depende solo de

k^2 \bmod 8.

Para

k = 1

hasta

12,

el residuo

k^2 \bmod 8

es

1

(dando

z

) seis veces,

4

(dando

-1

) tres veces, y

0

(dando

1

) tres veces. Así que la primera suma es

6z - 3 + 3 = 6z.

La segunda suma es análogamente

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.

Su producto es

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since

z = e^{\frac{i\pi}{4}},

we have

z^{k^2} = e^{\frac{i\pi k^2}{4}},

depending only on

k^2 \bmod 8.

For

k = 1

to

12,

the residue

k^2 \bmod 8

is

1

(giving

z

) six times,

4

(giving

-1

) three times, and

0

(giving

1

) three times. So the first sum is

6z - 3 + 3 = 6z.

The second sum is likewise

\dfrac{6}{z} - 3 + 3 = \dfrac{6}{z}.

Their product is

6z \cdot \dfrac{6}{z} = 36.

Thus, the correct answer is C.

2019 AMC 12A Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años