2018 AMC 12B Problema 4

Question

Un círculo tiene una cuerda de longitud

10,

y la distancia desde el centro del círculo a la cuerda es

5.

¿Cuál es el área del círculo?

A circle has a chord of length

10,

and the distance from the center of the circle to the chord is

5.

What is the area of the circle?

25\pi

50\pi

75\pi

100\pi

125\pi

El radio, la mitad de la cuerda y la distancia a la cuerda forman un triángulo rectángulo.

The radius, half the chord, and the distance to the chord form a right triangle

Con catetos

5

y

5,

el radio cumple

r^2=5^2+5^2

.

With legs

5

and

5,

the radius satisfies

r^2=5^2+5^2

Al trazar una perpendicular desde el centro a la cuerda, esta queda bisecada, formando un triángulo rectángulo con catetos

5

(la mitad de la cuerda) y

5

(la distancia), e hipotenusa

r.

Entonces

r^2=5^2+5^2=50,

por lo que el área es

\pi r^2=50\pi.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Dropping a perpendicular from the center to the chord bisects it, forming a right triangle with legs

5

(half the chord) and

5

(the distance), and hypotenuse

r.

Then

r^2=5^2+5^2=50,

so the area is

\pi r^2=50\pi.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 4 en otros años