2018 AMC 12B Problema 12

Question

El lado

\overline{AB}

del

\triangle ABC

tiene longitud

10.

La bisectriz del ángulo

A

corta a

\overline{BC}

en

D,

y

CD=3.

El conjunto de todos los valores posibles de

AC

es un intervalo abierto

(m, n).

¿Cuánto vale

m+n

?

Side

\overline{AB}

of

\triangle ABC

has length

10.

The bisector of angle

A

meets

\overline{BC}

at

D,

and

CD=3.

The set of all possible values of

AC

is an open interval

(m, n).

What is

m+n?

16

17

18

19

20

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Por el teorema de la bisectriz,

\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}

.

By the angle bisector theorem,

\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AB}{BD}

Pista grande:

Sea

AC=q,

de modo que

BD=\dfrac{30}{q};

luego aplica las tres desigualdades triangulares.

Let

AC=q,

so

BD=\dfrac{30}{q};

then apply the three triangle inequalities

Solución:

Sean

q=AC

y

r=BD.

El teorema de la bisectriz da

\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},

por lo que

r=\tfrac{30}{q}.

Aplicando las desigualdades triangulares a los lados

q,

10,

y

3+r

y sustituyendo

r=\tfrac{30}{q}

se obtiene

(q-15)(q+2)\lt0

y

(q-3)(q+10)\gt0

(la tercera desigualdad se cumple automáticamente). Juntas, estas obligan a

3\lt q\lt15.

Así que

(m,n)=(3,15)

y

m+n=18.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

q=AC

and

r=BD.

The angle bisector theorem gives

\tfrac{q}{3}=\tfrac{10}{r},

so

r=\tfrac{30}{q}.

Applying the triangle inequalities to sides

q,

10,

and

3+r

and substituting

r=\tfrac{30}{q}

yields

(q-15)(q+2)\lt0

and

(q-3)(q+10)\gt0

(the third inequality holds automatically). Together these force

3\lt q\lt15.

So

(m,n)=(3,15)

and

m+n=18.

Thus, the correct answer is C.