2018 AMC 12A Problema 13

Question

¿Cuántos enteros no negativos se pueden escribir en la forma

\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}

donde

a_i \in \{-1, 0, 1\}

para

0 \le i \le 7

?

How many nonnegative integers can be written in the form

\begin{aligned} &a_7 \cdot 3^7 + a_6 \cdot 3^6 + a_5 \cdot 3^5 \\ &\quad {}+ a_4 \cdot 3^4 + a_3 \cdot 3^3 + a_2 \cdot 3^2 \\ &\quad {}+ a_1 \cdot 3^1 + a_0 \cdot 3^0, \end{aligned}

where

a_i \in \{-1, 0, 1\}

for

0 \le i \le 7?

512

729

1094

3281

59{,}048

Respuesta: D

Conceptos:base numérica biyección simetría

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Desplazar cada

a_i

de

\{-1, 0, 1\}

a

\{0, 1, 2\}

produce un numeral ordinario en base

3

Shifting each

a_i

from

\{-1, 0, 1\}

to

\{0, 1, 2\}

makes an ordinary base-

3

numeral

Pista grande:

Los

3^8

enteros representables son simétricos respecto de

0;

cuenta

0

junto con la mitad de los valores restantes

The

3^8

representable integers are symmetric about

0;

count

0

together with half of the remaining values

Solución:

Sumar

1

a cada

a_i

da una biyección entre estas expresiones y los numerales en base

3

para

0

hasta

3^8 - 1,

así que ocurren exactamente

3^8 = 6561

enteros distintos. Son simétricos respecto de

0

(negar todos los

a_i

niega el valor), así que además del propio

0

, la mitad son positivos:

1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281

enteros no negativos, a saber

0

hasta

3280.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Adding

1

to every

a_i

gives a bijection between these expressions and the base-

3

numerals for

0

through

3^8 - 1,

so exactly

3^8 = 6561

distinct integers occur. They are symmetric about

0

(negating all

a_i

negates the value), so besides

0

itself, half are positive:

1 + \tfrac12(6561 - 1) = 3281

nonnegative integers, namely

0