2017 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2017 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

La gráfica de

y = f(x),

donde

f(x)

es un polinomio de grado

3,

contiene los puntos

A(2, 4),

B(3, 9),

y

C(4, 16).

Las rectas

AB,

AC,

y

BC

cortan de nuevo la gráfica en los puntos

D,

E,

y

F,

respectivamente, y la suma de las coordenadas

x

de

D,

E,

y

F

es

24.

¿Cuánto vale

f(0)

?

The graph of

y = f(x),

where

f(x)

is a polynomial of degree

3,

contains points

A(2, 4),

B(3, 9),

and

C(4, 16).

Lines

AB,

AC,

and

BC

intersect the graph again at points

D,

E,

and

F,

respectively, and the sum of the

x

-coordinates of

D,

E,

and

F

is

24.

What is

f(0)?

-2

0

2

\dfrac{24}{5}

8

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2370

Pista pequeña:

Como

A, B, C

están sobre

y = x^2,

sea

g(x) = f(x) - x^2,

de modo que

g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)

Since

A, B, C

lie on

y = x^2,

let

g(x) = f(x) - x^2,

so

g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)

Pista grande:

Una recta corta la cúbica donde

f(x) - L(x) = 0;

por Vieta las tres coordenadas

x

de cada tal terna suman

9 - \tfrac1a

A line meets the cubic where

f(x) - L(x) = 0;

by Vieta the three

x

-coordinates of each such triple sum to

9 - \tfrac1a

Solución:

Los puntos

A, B, C

están sobre

y = x^2,

así que

g(x) = f(x) - x^2

tiene raíces

2, 3, 4:

g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)

para algún

a \ne 0.

Los coeficientes de

x^3

y

x^2

en

f

son

a

y

1 - 9a,

así que por Vieta las tres raíces de

f(x) - L(x)

(para cualquier

L

lineal) suman

9 - \tfrac1a.

Las rectas

AB, AC, BC

cortan la cúbica en las ternas

\{2, 3, x_D\},

\{2, 4, x_E\},

\{3, 4, x_F\},

así que

\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}

lo que da

a = -\tfrac15.

Entonces

f(x) = x^2

- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4),

así que

f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)

= \tfrac{24}{5}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The points

A, B, C

lie on

y = x^2,

so

g(x) = f(x) - x^2

has roots

2, 3, 4:

g(x) = a(x-2)(x-3)(x-4)

for some

a \ne 0.

The coefficients of

x^3

and

x^2

in

f

are

a

and

1 - 9a,

so by Vieta the three roots of

f(x) - L(x)

(for any linear

L

) sum to

9 - \tfrac1a.

The lines

AB, AC, BC

meet the cubic in triples

\{2, 3, x_D\},

\{2, 4, x_E\},

\{3, 4, x_F\},

so

\begin{aligned} &x_D + x_E + x_F \\ &\quad {}= 3\left(9 - \tfrac1a\right) \\ &\quad {}- 2(2 + 3 + 4) \\ &\quad {}= 9 - \tfrac3a = 24, \end{aligned}

giving

a = -\tfrac15.

Then

f(x) = x^2

- \tfrac15(x-2)(x-3)(x-4),

so

f(0) = 0 - \tfrac15(-2)(-3)(-4)

= \tfrac{24}{5}.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 23 en otros años