2017 AMC 12B Problema 18

Question

El diámetro

\overline{AB}

de una circunferencia de radio

2

se prolonga hasta un punto

D

fuera de la circunferencia de modo que

BD = 3.

Se elige un punto

E

tal que

ED = 5

y la recta

ED

es perpendicular a la recta

AD.

El segmento

\overline{AE}

corta a la circunferencia en un punto

C

entre

A

y

E.

¿Cuál es el área de

\triangle ABC

?

The diameter

\overline{AB}

of a circle of radius

2

is extended to a point

D

outside the circle so that

BD = 3.

Point

E

is chosen so that

ED = 5

and line

ED

is perpendicular to line

AD.

Segment

\overline{AE}

intersects the circle at a point

C

between

A

and

E.

What is the area of

\triangle ABC?

\dfrac{120}{37}

\dfrac{140}{39}

\dfrac{145}{39}

\dfrac{140}{37}

\dfrac{120}{31}

Respuesta: D

Conceptos:ángulo inscrito semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

\angle ACB

está inscrito en un semicírculo, por lo que es un ángulo recto; de ahí que

\triangle ABC \sim \triangle AED

\angle ACB

is inscribed in a semicircle, so it is a right angle; hence

\triangle ABC \sim \triangle AED

Pista grande:

Sus áreas están en razón

AB^2 : AE^2;

calcula

AE^2 = AD^2 + ED^2

Their areas are in ratio

AB^2 : AE^2;

compute

AE^2 = AD^2 + ED^2

Solución:

Como

\angle ACB

está inscrito en un semicírculo, es un ángulo recto, por lo que

\triangle ABC \sim \triangle AED

(ambos rectángulos y comparten el ángulo

A

). Sus áreas están en razón

AB^2 : AE^2.

Aquí

AB = 4,

por lo que

AB^2 = 16,

y

AD = AB + BD = 7,

así que

AE^2 = AD^2 + ED^2

= 49 + 25

= 74.

El área de

\triangle AED

es

\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.

Por lo tanto

[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

\angle ACB

is inscribed in a semicircle, it is a right angle, so

\triangle ABC \sim \triangle AED

(both right-angled and sharing angle

A

). Their areas are in ratio

AB^2 : AE^2.

Here

AB = 4,

so

AB^2 = 16,

and

AD = AB + BD = 7,

so

AE^2 = AD^2 + ED^2

= 49 + 25

= 74.

The area of

\triangle AED

is

\tfrac12 \cdot 7 \cdot 5 = \tfrac{35}{2}.

Thus

[\triangle ABC] = \frac{16}{74} \cdot \frac{35}{2} = \frac{140}{37}.

Thus, the correct answer is D.